[1,0] Determinar o número racional, para os seguintes números representados sob a forma de fração contínua:
[2,3,2,1,2]\).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número racional correspondente à fração contínua [2,3,2,1,2].
Informações dadas:
  • A sequência de termos da fração contínua é 2,3,2,1,2.
  • A tarefa é converter essa representação em uma fração \dfrac{p}{q} (um número racional) na forma irreduzível.

Passo 2

O que significa [2,3,2,1,2]? É a fração contínua finita
2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2}}}}.
Método que vou usar (o mais direto para calcular à mão): avaliar “de trás para frente” — começar pelo último termo e ir invertendo e somando até chegar ao termo inicial. Isso evita montar recorrências e é simples de aplicar num exame sem calculadora.
Explicação rápida do procedimento: se a parte final tiver valor v, então o passo anterior com coeficiente a vale a+\dfrac{1}{v}. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Começar pelo último termo: o último termo é 2. Chamemos de v_5 o valor da cauda que começa no quinto termo:
v_5 = 2.

Passo 4

Agora subir um termo: o quarto termo é 1, então
v_4 = 1 + \dfrac{1}{v_5} = 1 + \dfrac{1}{2}.
Calcule a soma como fração:
v_4 = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.

Passo 5

Subir ao terceiro termo, que é 2:
v_3 = 2 + \dfrac{1}{v_4} = 2 + \dfrac{1}{\tfrac{3}{2}}.
Inverter \tfrac{3}{2} \tfrac{2}{3}, então
v_3 = 2 + \dfrac{2}{3}.
Somando como fração:
v_3 = \dfrac{6}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{3}.

Passo 6

Subir ao segundo termo, que é 3:
v_2 = 3 + \dfrac{1}{v_3} = 3 + \dfrac{1}{\tfrac{8}{3}}.
Inverter \tfrac{8}{3} \tfrac{3}{8}, então
v_2 = 3 + \dfrac{3}{8}.
Somando:
v_2 = \dfrac{24}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{27}{8}.

Passo 7

Finalmente, subir ao primeiro (termo inicial) que é 2. Esse é o valor total da fração contínua:
v_1 = 2 + \dfrac{1}{v_2} = 2 + \dfrac{1}{\tfrac{27}{8}}.
Inverter \tfrac{27}{8} \tfrac{8}{27}, então
v_1 = 2 + \dfrac{8}{27}.
Somando:
v_1 = \dfrac{54}{27} + \dfrac{8}{27} = \dfrac{62}{27}.

Passo 8

Verificação rápida de irreducibilidade: 62 = 2\cdot31 e 27=3^3. Não têm fatores primos em comum, logo a fração já está irredutível. Portanto o número racional correspondente é \dfrac{62}{27}.

Resposta

\dfrac{62}{27}

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