[1,0] Determinar o número racional, para os seguintes números representados sob a forma de fração contínua:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número racional correspondente à fração contínua
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência de termos da fração contínua é
. - A tarefa é converter essa representação em uma fração
(um número racional) na forma irreduzível.
Passo 2
O que significa
? É a fração contínua finita
Método que vou usar (o mais direto para calcular à mão): avaliar “de trás para frente” — começar pelo último termo e ir invertendo e somando até chegar ao termo inicial. Isso evita montar recorrências e é simples de aplicar num exame sem calculadora.
Explicação rápida do procedimento: se a parte final tiver valor
, então o passo anterior com coeficiente
vale
. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Começar pelo último termo: o último termo é
. Chamemos de
o valor da cauda que começa no quinto termo:
Passo 4
Agora subir um termo: o quarto termo é
, então
Calcule a soma como fração:
Passo 5
Subir ao terceiro termo, que é
:
Inverter
dá
, então
Somando como fração:
Passo 6
Subir ao segundo termo, que é
:
Inverter
dá
, então
Somando:
Passo 7
Finalmente, subir ao primeiro (termo inicial) que é
. Esse é o valor total da fração contínua:
Inverter
dá
, então
Somando:
Passo 8
Verificação rápida de irreducibilidade:
e
. Não têm fatores primos em comum, logo a fração já está irredutível. Portanto o número racional correspondente é
.