[1,0] Sendo a=14 e b=35, calcular: (a) d=\operatorname{MDC}(a, b) e (b) os inteiros m e n, da expressão d=m a+n b.

Passo 1

O enunciado dá os inteiros a e b e pede duas coisas:
  • (a) calcular d=\operatorname{MDC}(a,b);
  • (b) encontrar inteiros m e n tais que d = m a + n b.
As informações fornecidas são:
  • a=14,
  • b=35.
Portanto precisamos primeiro achar o máximo divisor comum de 14 e 35 e depois escrever esse gcd como combinação linear inteira de 14 e 35.

Passo 2

Explicando o método que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas): usar o Algoritmo de Euclides para obter o \operatorname{MDC} e, em seguida, aplicar a retro-substituição (algoritmo de Euclides estendido/Identidade de Bézout) para obter os coeficientes m e n.
Breve lembrete de conceitos (com linguagem simples):
  • O \operatorname{MDC} de dois inteiros é o maior inteiro positivo que divide ambos.
  • O Algoritmo de Euclides consiste em dividir o maior pelo menor, tomar o resto, repartir novamente até obter resto zero; o último resto não nulo é o \operatorname{MDC}.
  • A Identidade de Bézout diz que, para inteiros a e b, existem inteiros m e n tais que \operatorname{MDC}(a,b)=m a + n b. Podemos encontrar m,n retro-substituindo os restos do Algoritmo de Euclides.

Passo 3

Aplicando o Algoritmo de Euclides aos números dados: começar dividindo o maior pelo menor. Aqui b=35 é maior que a=14. Faço a divisão inteira:
35 = 2\cdot 14 + 7.
Agora divido 14 pelo resto 7:
14 = 2\cdot 7 + 0.
Como o resto ficou 0 nessa segunda divisão, o último resto não nulo é 7. Logo
d=\operatorname{MDC}(14,35)=7.

Passo 4

Agora vamos encontrar m e n tais que 7 = m\cdot 14 + n\cdot 35. Para isso usamos a equação da primeira divisão e fazemos a retro-substituição.
Da divisão que fizemos temos a relação direta (peguei esse dado das contas do Algoritmo de Euclides):
7 = 35 - 2\cdot 14.
Essa expressão já escreve 7 como combinação linear de 14 e 35. Basta identificar os coeficientes.

Passo 5

Comparando a expressão obtida com a forma desejada 7 = m\cdot 14 + n\cdot 35, vemos que:
  • o coeficiente de 14 é -2,
  • o coeficiente de 35 é 1.
Portanto podemos tomar m=-2 e n=1.

Passo 6

Verificação (sempre bom checar na prova): calcular m a + n b com os valores encontrados:
(-2)\cdot 14 + 1\cdot 35 = -28 + 35 = 7,
que é exatamente d. Está correto.

Passo 7

Dica rápida para a prova: quando um número divide exatamente o outro (como 14 divide 35? não exatamente — aqui 35 não é múltiplo exato de 14 sem resto zero, mas o algoritmo é curto), o Algoritmo de Euclides costuma ser bem rápido; a retro-substituição normalmente exige apenas uma ou duas linhas de álgebra para achar m e n. Mantenha as divisões escritas para poder retro-substituir sem erro — isso salva tempo e evita confusão.

Resposta

(a) d=7
(b) m=-2,\;n=1

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