Sendo
e
, calcular: (a)
e (b) os inteiros
e
, da expressão
.
Passo 1
O enunciado dá os inteiros
e
e pede duas coisas:
- (a) calcular
; - (b) encontrar inteiros
e tais que .
As informações fornecidas são:
-
, -
.
Portanto precisamos primeiro achar o máximo divisor comum de
e
e depois escrever esse gcd como combinação linear inteira de
e
.
Passo 2
Explicando o método que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas): usar o Algoritmo de Euclides para obter o
e, em seguida, aplicar a retro-substituição (algoritmo de Euclides estendido/Identidade de Bézout) para obter os coeficientes
e
.
Breve lembrete de conceitos (com linguagem simples):
- O
de dois inteiros é o maior inteiro positivo que divide ambos. - O Algoritmo de Euclides consiste em dividir o maior pelo menor, tomar o resto, repartir novamente até obter resto zero; o último resto não nulo é o
. - A Identidade de Bézout diz que, para inteiros
e , existem inteiros e tais que . Podemos encontrar retro-substituindo os restos do Algoritmo de Euclides.
Passo 3
Aplicando o Algoritmo de Euclides aos números dados: começar dividindo o maior pelo menor. Aqui
é maior que
. Faço a divisão inteira:
Agora divido
pelo resto
:
Como o resto ficou
nessa segunda divisão, o último resto não nulo é
. Logo
Passo 4
Agora vamos encontrar
e
tais que
. Para isso usamos a equação da primeira divisão e fazemos a retro-substituição.
Da divisão que fizemos temos a relação direta (peguei esse dado das contas do Algoritmo de Euclides):
Essa expressão já escreve
como combinação linear de
e
. Basta identificar os coeficientes.
Passo 5
Comparando a expressão obtida com a forma desejada
, vemos que:
- o coeficiente de
é , - o coeficiente de
é .
Portanto podemos tomar
e
.
Passo 6
Verificação (sempre bom checar na prova): calcular
com os valores encontrados:
que é exatamente
. Está correto.
Passo 7
Dica rápida para a prova: quando um número divide exatamente o outro (como
divide
? não exatamente — aqui
não é múltiplo exato de
sem resto zero, mas o algoritmo é curto), o Algoritmo de Euclides costuma ser bem rápido; a retro-substituição normalmente exige apenas uma ou duas linhas de álgebra para achar
e
. Mantenha as divisões escritas para poder retro-substituir sem erro — isso salva tempo e evita confusão.
Resposta
(a)
(b)
(b)