[1,6] Sabe-se que um número como: a b c d e f=a \times 10^{5}+b \times 10^{4}+c \times 10^{3}+d \times 10^{2}+e \times 10^{1}+f \times 10^{0}, é divisível por 3 se a+b+c+d+e+f é divisível por 3 . Demonstrar que esta afirmação é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá a representação decimal de um número com seis algarismos e afirma que esse número é divisível por 3 sempre que a soma dos seus algarismos for divisível por 3. Vou listar o que temos e o que é pedido:
  • Temos um número escrito como
a b c d e f = a\times 10^{5}+b\times 10^{4}+c\times 10^{3}+d\times 10^{2}+e\times 10^{1}+f\times 10^{0},
onde a,b,c,d,e,f são os algarismos (inteiros entre 0 e 9).
  • O que devemos demonstrar: a afirmação “se a+b+c+d+e+f é divisível por 3, então a b c d e f é divisível por 3” é verdadeira. (Vou mostrar, aliás, que o número é congruente módulo 3 à soma dos seus algarismos, o que dá a necessidade e suficiência.)

Passo 2

Ideia-chave (explicada devagar): mostrar que potências de 10 deixam resto 1 quando divididas por 3. Em linguagem simples: 10 é 9+1, e 9 é múltiplo de 3, logo 10 deixa o mesmo resto que 1 ao dividir por 3. Vou provar formalmente que, para todo inteiro n\ge 0,
10^{n}-1
é divisível por 3. Isso implica 10^{n}\equiv 1\pmod{3}.
Prova por indução (muito padrão e fácil de entender):
  • Base n=0: 10^{0}-1 = 1-1 = 0, que é divisível por 3.
  • Passo indutivo: suponha que 10^{n}-1 é divisível por 3. Então existe um inteiro k tal que 10^{n}-1=3k. Considere
10^{n+1}-1 = 10\cdot 10^{n}-1 = 10\bigl(10^{n}-1\bigr)+9.
Pela hipótese indutiva, 10\bigl(10^{n}-1\bigr) é múltiplo de 3 (porque 10^{n}-1 é), e 9 também é múltiplo de 3. A soma de dois múltiplos de 3 é múltiplo de 3. Assim 10^{n+1}-1 é múltiplo de 3. Logo, por indução, 10^{n}-1 é múltiplo de 3 para todo n\ge0.
Dessa forma concluímos que, para todo n\ge0,
10^{n}\equiv 1\pmod{3}.

Passo 3

Agora uso essa propriedade para relacionar o número e a soma dos algarismos.
Calcule a diferença entre o número e a soma dos algarismos:
\begin{aligned} &\bigl(a\times 10^{5}+b\times 10^{4}+c\times 10^{3}+d\times 10^{2}+e\times 10^{1}+f\bigr) - (a+b+c+d+e+f)\\[4pt] &\quad= a\bigl(10^{5}-1\bigr)+b\bigl(10^{4}-1\bigr)+c\bigl(10^{3}-1\bigr)+d\bigl(10^{2}-1\bigr)+e\bigl(10^{1}-1\bigr). \end{aligned}
Pelo resultado do passo anterior, cada termo \bigl(10^{n}-1\bigr) é múltiplo de 3. Multiplicando por um inteiro ( a,b,c,d,e) obtém-se também um múltiplo de 3. Portanto a soma dos termos do lado direito é múltiplo de 3. Concluímos que
\bigl(a\times 10^{5}+b\times 10^{4}+c\times 10^{3}+d\times 10^{2}+e\times 10+f\bigr) - (a+b+c+d+e+f)
é múltiplo de 3.
Isto significa que o número a b c d e f e a soma dos seus algarismos a+b+c+d+e+f deixam o mesmo resto na divisão por 3; em notação de congruências:
a\times 10^{5}+b\times 10^{4}+c\times 10^{3}+d\times 10^{2}+e\times 10+f \equiv a+b+c+d+e+f \pmod{3}.]

Passo 4

Consequência imediata e explicação final: se a+b+c+d+e+f é múltiplo de 3, então a congruência acima mostra que a b c d e f também é múltiplo de 3. Ou seja, a afirmação do enunciado é verdadeira.
Bônus prático (exemplo para fixar): o número 372 tem soma dos algarismos 3+7+2=12, que é múltiplo de 3; pelo que provamos, 372 é divisível por 3 (de fato 372=3\times 124). Isso ilustra a regra de forma concreta.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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