[1,6] Sabe-se que um número como:
, é divisível por 3 se
é divisível por 3 . Demonstrar que esta afirmação é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá a representação decimal de um número com seis algarismos e afirma que esse número é divisível por 3 sempre que a soma dos seus algarismos for divisível por 3. Vou listar o que temos e o que é pedido:
- Temos um número escrito como
onde
são os algarismos (inteiros entre
e
).
- O que devemos demonstrar: a afirmação “se
é divisível por , então é divisível por ” é verdadeira. (Vou mostrar, aliás, que o número é congruente módulo à soma dos seus algarismos, o que dá a necessidade e suficiência.)
Passo 2
Ideia-chave (explicada devagar): mostrar que potências de
deixam resto
quando divididas por
. Em linguagem simples:
é
, e
é múltiplo de
, logo
deixa o mesmo resto que
ao dividir por
. Vou provar formalmente que, para todo inteiro
,
é divisível por
. Isso implica
.
Prova por indução (muito padrão e fácil de entender):
- Base
: , que é divisível por . - Passo indutivo: suponha que
é divisível por . Então existe um inteiro tal que . Considere
Pela hipótese indutiva,
é múltiplo de
(porque
é), e
também é múltiplo de
. A soma de dois múltiplos de
é múltiplo de
. Assim
é múltiplo de
. Logo, por indução,
é múltiplo de
para todo
.
Dessa forma concluímos que, para todo
,
Passo 3
Agora uso essa propriedade para relacionar o número e a soma dos algarismos.
Calcule a diferença entre o número e a soma dos algarismos:
Pelo resultado do passo anterior, cada termo
é múltiplo de
. Multiplicando por um inteiro (
) obtém-se também um múltiplo de
. Portanto a soma dos termos do lado direito é múltiplo de
. Concluímos que
é múltiplo de
.
Isto significa que o número
e a soma dos seus algarismos
deixam o mesmo resto na divisão por
; em notação de congruências:
Passo 4
Consequência imediata e explicação final: se
é múltiplo de
, então a congruência acima mostra que
também é múltiplo de
. Ou seja, a afirmação do enunciado é verdadeira.
Bônus prático (exemplo para fixar): o número
tem soma dos algarismos
, que é múltiplo de
; pelo que provamos,
é divisível por
(de fato
). Isso ilustra a regra de forma concreta.
Resposta
A afirmação é verdadeira.