1- [1,0] Para o escoamento sobre uma placa plana, sabe-se que o coeficiente convectivo local h_{\mathrm{x}} varia com C x^{-1 / 2}, onde x é a distância da aresta frontal (x=0) da placa e a grandeza C depende das propriedades do fluido e é independente de x. Qual é o coeficiente convectivo médio entre a aresta frontal e alguma posição x na placa? Considerando C=0,4, esboce a variação de h_{\mathrm{x}} e \bar{h}_{\mathrm{x}} \operatorname{com} x.

Passo 1

O enunciado dá a variação local do coeficiente convectivo ao longo da placa como \;h_{x}=C\,x^{-1/2}\;, onde \;x\; é a distância a partir da aresta frontal ( x=0) e C é constante (independente de x). As perguntas são: (a) qual é o coeficiente convectivo médio entre a aresta frontal e uma posição \;x\; da placa; (b) para C=0,4, esboçar a variação de \;h_{x}\; e \;\bar{h}_{x}\; com \;x\;.
Informações relevantes: \;h_{x}=C\,x^{-1/2}\;, queremos \;\bar{h}_{x} definida como média entre 0 e x.

Passo 2

Definição matemática da média espacial (explicando devagarinho): a média do coeficiente entre a aresta e a posição \;x\; é a integral do valor local dividido pelo comprimento da região. Em fórmula,
\bar{h}_{x}=\frac{1}{x}\int_{0}^{x} h(s)\,ds,
onde \;s\; é a variável de integração (posição ao longo da placa). Aqui usei s para não confundir com o limite superior x. Essa fórmula é a versão contínua da média aritmética: soma (integral) dos valores dividido pela largura (aqui x).

Passo 3

Substituímos \;h(s)=C\,s^{-1/2}\; na integral e resolvemos passo a passo (a integral de uma potência é direta, vou mostrar):
\bar{h}_{x}=\frac{1}{x}\int_{0}^{x} C\,s^{-1/2}\,ds.
Fatoramos C porque é constante:
\bar{h}_{x}=\frac{C}{x}\int_{0}^{x} s^{-1/2}\,ds.
A primitiva (antiderivada) de s^{-1/2} é 2\,s^{1/2} porque ao derivar 2\,s^{1/2} obtemos 2\cdot\frac{1}{2}s^{-1/2}=s^{-1/2}. Então compute a integral definida:
\int_{0}^{x} s^{-1/2}\,ds = \big[2\,s^{1/2}\big]_{0}^{x} = 2\,x^{1/2}-2\cdot 0^{1/2} = 2\,x^{1/2}.
Colocando de volta:
\bar{h}_{x}=\frac{C}{x}\cdot 2\,x^{1/2} = 2C\,\frac{x^{1/2}}{x} = 2C\,x^{-1/2}.

Passo 4

Simplificando, obtemos uma relação muito simples entre a média e o valor local:
\bar{h}_{x}=2C\,x^{-1/2}.
Como \;h_{x}=C\,x^{-1/2}\;, segue imediatamente que
\bar{h}_{x}=2\,h_{x}.
Interpretação física e matemática rápida: ambas as grandezas decaem com \;x^{-1/2}\; (ou seja, caem quando nos afastamos da aresta), mas a média entre 0 e x é sempre o dobro do valor local em x. Note que embora h_{x} pareça singular em x=0, a integral é convergente porque s^{-1/2} é integrável perto de zero; a média é finita para qualquer x>0.

Passo 5

Agora faça C=0,4 e escreva as expressões numéricas e alguns pontos que ajudam no esboço (usando \;x em unidades quaisquer, por ex. metros). As fórmulas ficam:
h_{x}=0,4\,x^{-1/2},\qquad \bar{h}_{x}=0,8\,x^{-1/2}.
Vamos calcular alguns valores para esboçar (usei \;x=0,01,\;0,1,\;1,\;4\;):
\begin{aligned} &x=0,01:\quad x^{-1/2}=10\quad\Rightarrow\quad h_{x}=0,4\cdot 10=4,\quad \bar{h}_{x}=0,8\cdot 10=8;\\\ &x=0,1:\quad x^{-1/2}\approx 3,1623\quad\Rightarrow\quad h_{x}\approx 1,2649,\quad \bar{h}_{x}\approx 2,5298;\\\ &x=1:\quad x^{-1/2}=1\quad\Rightarrow\quad h_{x}=0,4,\quad \bar{h}_{x}=0,8;\\\ &x=4:\quad x^{-1/2}=0,5\quad\Rightarrow\quad h_{x}=0,2,\quad \bar{h}_{x}=0,4. \end{aligned}
Como esboçar com esses pontos (passo-a-passo para desenhar à mão): coloque x no eixo horizontal (aumentando para a direita) e h no vertical. Marque os pontos acima e desenhe duas curvas suaves que decaem rapidamente ao início e mais lentamente depois, com a curva de \bar{h}_{x} sempre exatamente duas vezes acima da curva de h_{x}. Se fizer um gráfico log-log, ambas aparecem como retas com inclinação -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Comentário motivacional e físico: a queda com \;x^{-1/2}\; vem da espessura da camada limite que cresce com \sqrt{x} — perto da aresta a troca térmica é alta porque a camada limite é fina. Não se assuste com a singularidade em x=0: matematicamente a média até qualquer x>0 é finita e dada pelas fórmulas acima. Você já tem a resposta prática para a prova: aplicar a definição de média e integrar uma potência é o procedimento padrão.

Resposta

\displaystyle \bar{h}_{x}=2C\,x^{-1/2}
\displaystyle \bar{h}_{x}=2\,h_{x}
Para C=0,4: \displaystyle h_{x}=0,4\,x^{-1/2},\quad \bar{h}_{x}=0,8\,x^{-1/2}

Exercícios relacionados