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Para o escoamento sobre uma placa plana, sabe-se que o coeficiente convectivo local
varia com
, onde
é a distância da aresta frontal
da placa e a grandeza
depende das propriedades do fluido e é independente de
. Qual é o coeficiente convectivo médio entre a aresta frontal e alguma posição
na placa? Considerando
, esboce a variação de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a variação local do coeficiente convectivo ao longo da placa como
, onde
é a distância a partir da aresta frontal (
) e
é constante (independente de
). As perguntas são: (a) qual é o coeficiente convectivo médio entre a aresta frontal e uma posição
da placa; (b) para
, esboçar a variação de
e
com
.
Informações relevantes: , queremos
definida como média entre
e
.
Informações relevantes:
Passo 2
Definição matemática da média espacial (explicando devagarinho): a média do coeficiente entre a aresta e a posição
é a integral do valor local dividido pelo comprimento da região. Em fórmula,
onde
é a variável de integração (posição ao longo da placa). Aqui usei
para não confundir com o limite superior
. Essa fórmula é a versão contínua da média aritmética: soma (integral) dos valores dividido pela largura (aqui
).
Passo 3
Substituímos
na integral e resolvemos passo a passo (a integral de uma potência é direta, vou mostrar):
Fatoramos
porque é constante:
A primitiva (antiderivada) de
é
porque ao derivar
obtemos
. Então compute a integral definida:
Colocando de volta:
Passo 4
Simplificando, obtemos uma relação muito simples entre a média e o valor local:
Como
, segue imediatamente que
Interpretação física e matemática rápida: ambas as grandezas decaem com
(ou seja, caem quando nos afastamos da aresta), mas a média entre
e
é sempre o dobro do valor local em
. Note que embora
pareça singular em
, a integral é convergente porque
é integrável perto de zero; a média é finita para qualquer
.
Passo 5
Agora faça
e escreva as expressões numéricas e alguns pontos que ajudam no esboço (usando
em unidades quaisquer, por ex. metros). As fórmulas ficam:
Vamos calcular alguns valores para esboçar (usei
):
Como esboçar com esses pontos (passo-a-passo para desenhar à mão): coloque
no eixo horizontal (aumentando para a direita) e
no vertical. Marque os pontos acima e desenhe duas curvas suaves que decaem rapidamente ao início e mais lentamente depois, com a curva de
sempre exatamente duas vezes acima da curva de
. Se fizer um gráfico log-log, ambas aparecem como retas com inclinação
.
Passo 6
Comentário motivacional e físico: a queda com
vem da espessura da camada limite que cresce com
— perto da aresta a troca térmica é alta porque a camada limite é fina. Não se assuste com a singularidade em
: matematicamente a média até qualquer
é finita e dada pelas fórmulas acima. Você já tem a resposta prática para a prova: aplicar a definição de média e integrar uma potência é o procedimento padrão.
Resposta
Para
: