2- [3.0] O sol tem um raio de 7 \times 10^{8} \mathrm{~m} e apresenta aproximadamente as características de um corpo negro, com uma temperatura superficial de 5800 K . Calcule a taxa total de radiação a partir do sol e o fluxo de radiação emitida por metro quadrado de área da superfieie.

Passo 1

O enunciado dá o raio do Sol e sua temperatura superficial e pede duas coisas: a taxa total de radiação (potência total ou luminosidade) e o fluxo de radiação por metro quadrado da superfície. Dados fornecidos:
R = 7\times10^{8}\\ \mathrm{m}
T = 5800\\ \mathrm{K}
Perguntas:
  1. Qual é a taxa total de radiação emitida pelo Sol (potência total, em W)?
  2. Qual é o fluxo de radiação emitido por metro quadrado da superfície do Sol (em \mathrm{W\,m^{-2}})?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: corpo negro e Lei de Stefan–Boltzmann. A Lei de Stefan–Boltzmann diz que o fluxo de energia emitido por unidade de área de uma superfície de corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura:
j^\star = \sigma T^{4},
onde j^\star é o fluxo radiativo por unidade de área (em \mathrm{W\,m^{-2}}), T é a temperatura absoluta (em K) e \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. O valor da constante é
\sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
A potência total (luminosidade) emitida por uma esfera de raio R que emite como corpo negro é a área da superfície da esfera multiplicada por j^\star:
L = 4\pi R^{2}\, j^\star = 4\pi R^{2} \sigma T^{4}.
Aqui L tem unidades de W (watts).

Passo 3

Vamos calcular primeiro T^{4}. Faço isso em dois passos: T^{2} e depois quadrado de novo.
T = 5800\\ \mathrm{K}
T^{2} = 5800^{2} = 3364\,0000 = 3{,}364\times10^{7}
Agora
T^{4} = \bigl(T^{2}\bigr)^{2} = (3{,}364\times10^{7})^{2} = 11{,}316\,496\times10^{8} = 1{,}1316496\times10^{15}.
Portanto
T^{4} = 1{,}1316496\times10^{15}\\ \mathrm{K^{4}}.

Passo 4

Calculo do fluxo por metro quadrado usando Stefan–Boltzmann:
j^\star = \sigma T^{4}.
Substituindo os números:
j^\star = \bigl(5{,}670374419\times10^{-8}\bigr)\times\bigl(1{,}1316496\times10^{15}\bigr).
Agora faço a multiplicação dos coeficientes e a soma dos expoentes:
5{,}670374419\times1{,}1316496 \approx 6{,}416880\quad\Rightarrow\quad j^\star \approx 6{,}416880\times10^{7}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
j^\star \approx 6{,}42\times10^{7}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
Interpretação: cada metro quadrado da superfície do Sol emite cerca de 6{,}42\times10^{7} watts.

Passo 5

Agora calculamos a área da superfície do Sol (esfera):
A = 4\pi R^{2}.
Primeiro R^{2}:
R^{2} = (7\times10^{8})^{2} = 49\times10^{16} = 4{,}9\times10^{17}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora a área:
A = 4\pi \times 4{,}9\times10^{17} = (4\pi\times4{,}9)\times10^{17}.
Como 4\pi\approx 12{,}5663706,
4\pi\times4{,}9 \approx 61{,}616\quad\Rightarrow\quad A \approx 6{,}1616\times10^{18}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Calculamos a potência total L multiplicando a área pelo fluxo por unidade de área:
L = A\, j^\star.
Substituindo os valores aproximados obtidos:
L \approx \bigl(6{,}1616\times10^{18}\bigr)\times\bigl(6{,}416880\times10^{7}\bigr).
Multiplicando coeficientes:
6{,}1616\times6{,}416880 \approx 39{,}53824.
Somando expoentes 10^{18}\times10^{7}=10^{25}, obtemos
L \approx 39{,}53824\times10^{25} = 3{,}953824\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
L \approx 3{,}95\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
Comentário amigo: esse valor é próximo do valor aceito para a luminosidade solar (da ordem de 10^{26}\\ \mathrm{W}); pequenas diferenças vêm do arredondamento dos dados fornecidos.

Resposta

j^\star \approx 6{,}42\times10^{7}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}\n
L \approx 3{,}95\times10^{26}\\ \mathrm{W}

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