Com quais aspectos do sistema o termo de geração de entropia está conectado?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar com quais aspectos do sistema o termo de geração de entropia (ou densidade de produção de entropia) está conectado.
Informações dadas (implícitas no pedido): queremos saber física e matematicamente de onde vem o termo de geração de entropia, em que quantidades do sistema ele aparece e como reconhecê‑lo numa equação/balanço. Não há figura nem dados numéricos. Vou descrever e ensinar passo a passo os conceitos e fórmulas relevantes.

Passo 2

Apresento a equação local de balanço de entropia (ponto de partida). A forma diferencial clássica é
\frac{\partial s}{\partial t} + \nabla\!\cdot \mathbf{J}_s = \sigma,
onde explico cada símbolo: s é a densidade de entropia por unidade de volume, \mathbf{J}_s é o fluxo de entropia (entropia transportada por condução de calor e por transporte de massa) e \sigma é a taxa de geração de entropia por unidade de volume (sempre \sigma\ge 0 pelo 2.º princípio). Essa equação diz: a variação local de entropia = fluxo que entra/ sai + produção interna.

Passo 3

Mostro a decomposição típica do fluxo de entropia. Um termo importante do fluxo é o devido ao calor:
\mathbf{J}_s^{(q)}=\frac{\mathbf{q}}{T},
onde \mathbf{q} é o fluxo de calor (W/m²) e T é a temperatura absoluta (K). Se houver transporte de espécies químicas também aparecem termos proporcionais aos fluxos de massa e potenciais químicos. Em resumo: o fluxo de entropia está ligado aos fluxos físicos (calor, massa, carga) que cruzam o controle.

Passo 4

Mostro a forma geral usada em termodinâmica de processos irreversíveis (esquema fluxos × forças). Uma expressão sintética para \sigma é
\sigma=\mathbf{q}\cdot\nabla\!\left(\frac{1}{T}\right)\;-\;\sum_i \mathbf{J}_i\cdot\nabla\!\left(\frac{\mu_i}{T}\right)\;+\;\frac{1}{T}\,\tau:\nabla\mathbf{v}\;+\;\sum_r\frac{A_r\dot{\xi}_r}{T},
onde explico cada termo:
  • \mathbf{q} = fluxo de calor.
  • \mathbf{J}_i = fluxo difusivo da espécie i (kg·m⁻²·s⁻¹ ou mol·m⁻²·s⁻¹).
  • \mu_i = potencial químico da espécie i (J·kg⁻¹ ou J·mol⁻¹, dependendo da unidade).
  • \tau = tensor de tensões viscosas; \nabla\mathbf{v} é o gradiente de velocidade (velocidade \mathbf{v}). O produto \tau:\nabla\mathbf{v} é a taxa volumétrica de dissipação mecânica (W/m³).
  • A_r = afinidade da reação r (combinação de potenciais químicos), \dot{\xi}_r = taxa volumétrica da reação r (mol·m⁻³·s⁻¹).
    Cada parcela representa um mecanismo físico capaz de gerar entropia. Observe que sinais e convenções podem variar; o importante é a estrutura fluxos × forças termodinâmicas.

Passo 5

Dou um exemplo concreto: condução de calor (ensina‑me como ver isso na prova). Use a lei de Fourier
\mathbf{q}=-k\,\nabla T,
onde k é a condutividade térmica (W·m⁻¹·K⁻¹). Substituindo em \mathbf{q}\cdot\nabla(1/T):
\mathbf{q}\cdot\nabla\!\left(\frac{1}{T}\right)=(-k\nabla T)\cdot\left(-\frac{\nabla T}{T^2}\right)=k\frac{(\nabla T)^2}{T^2}.
Interpretação: sempre que existe um gradiente de temperatura \nabla T\neq 0 e fluxo de calor associado, há produção de entropia proporcional a k(\nabla T)^2/T^2. Na prova: identificar um termo k(\nabla T)^2/T^2 significa “gera entropia por condução”.

Passo 6

Faço o mesmo para dissipação viscosa (como reconhecer e calcular): o termo é \sigma_{visc}=\tau:\nabla\mathbf{v}/T. Para um fluido newtoniano simples a dissipação volumétrica é proporcional à viscosidade e a quadrados de gradientes de velocidade; por exemplo, em um escoamento simples de cisalhamento unidimensional com gradiente \partial v_x/\partial y,
\tau_{xy}=\mu\frac{\partial v_x}{\partial y} \quad\Rightarrow\quad \sigma_{visc}=\frac{\tau_{xy}}{T}\frac{\partial v_x}{\partial y}=\frac{\mu}{T}\left(\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)^2.
Interpretção: presença de gradientes de velocidade (atrito interno) gera entropia.

Passo 7

Explano perda por difusão e reações químicas:
  • Difusão (massa): o termo geral é -\mathbf{J}_i\cdot\nabla(\mu_i/T). Para soluções diluídas \mu_i\approx \mu_i^0 + RT\ln c_i, então gradientes de concentração levam a \nabla\mu_i e, com \mathbf{J}_i dado por Lei de Fick \mathbf{J}_i=-D_i\nabla c_i, aparece um termo positivo relacionado a (\nabla c_i)^2. Conclusão prática: gradientes de concentração e fluxos difusivos geram entropia.
  • Reações químicas: o termo \sum_r A_r\dot{\xi}_r/T mostra que reações com afinidade A_r e taxa \dot{\xi}_r produzem entropia. Em combustão ou reações irreversíveis grandes, esse termo costuma dominar.

Passo 8

Incluo outros mecanismos comuns (para identificar em exercícios):
  • Aquecimento por corrente elétrica (Joule): termo do tipo \sigma_{Joule}=\mathbf{J}_e\cdot\mathbf{E}/T, com \mathbf{J}_e corrente elétrica e \mathbf{E} campo elétrico.
  • Mistura irreversível e troca de fase: quando há mistura com diferença de composição ou condensação/evaporação com gradientes finitos de temperatura e pressão, também há geração de entropia.
  • Transferência de calor entre corpos com diferença finita de temperatura: mesmo que não haja gradiente local, um contato entre T_1 e T_2 causa produção total de entropia \Delta S_{gen}=Q\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).

Passo 9

Conecto com regras gerais e consequências úteis para prova:
  • Segundo princípio local: \sigma\ge 0. Em exercícios, se você derivar uma expressão de \sigma que não é sempre não negativa, algo está errado.
  • Entropia gerada é “internamente” produzida; transferências através da fronteira aparecem no termo de fluxo \mathbf{J}_s. Se a troca de calor for com reservatório à mesma temperatura local, não há geração adicional (troca reversível).
  • Ligação com exergia: a perda de capacidade de trabalho (exergia destruída) é proporcional à entropia gerada por \dot{E}_{xd}=T_0\dot{S}_{gen}, onde T_0 é a temperatura do ambiente. Isso ajuda a interpretar entropia gerada como “ineficiência”.

Passo 10

Dou um roteiro prático para aplicação em prova (como identificar o termo gerador de entropia):
  1. Escreva o balanço local de entropia \frac{\partial s}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{J}_s=\sigma.
  2. Liste processos irreversíveis no problema: condução de calor com \nabla T, difusão de massa com \nabla c, escoamento com \nabla\mathbf{v}, reações químicas, corrente elétrica, mistura.
  3. Use leis constitutivas (Fourier, Fick, Newton para viscosidade, Lei de Ohm) para expressar fluxos em função de gradientes.
  4. Substitua na expressão geral de \sigma para obter termos do tipo “constante × (gradiente)^2 / T^2” ou “afinidade × taxa / T”.
  5. Verifique positividade de \sigma (sanity check). Pronto — esse é o termo que você deve identificar e integrar se precisar do total.

Resposta

Temperatura e seus gradientes / fluxo de calor ( \mathbf{q} e \nabla T).
Gradientes de velocidade e tensões viscosas (dissipação viscosa, \tau:\nabla\mathbf{v}).
Gradientes de concentração e fluxos difusivos ( \mathbf{J}_i e \nabla\mu_i / \nabla c_i).
Reações químicas (afinidade A_r e taxa \dot{\xi}_r).
Corrente elétrica / aquecimento Joule ( \mathbf{J}_e\cdot\mathbf{E}).
Transferência irreversível entre reservatórios com temperaturas diferentes (troca de calor finita).
Mistura e troca de fase irreversível (diferenças de composição/pressão/temperatura).
Propriedades constitutivas do material (condutividade k, difusividade D, viscosidade \mu, etc.) que fixam a intensidade da geração.
Conseqüência macroscópica: está diretamente ligada à destruição de exergia pela relação \dot{E}_{xd}=T_0\dot{S}_{gen}.

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