[1,0] O primeiro termo numa progressão aritmética é 5 e o último é 35. Determinar a progressão sabendo-se que o número de termos é igual à razão.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto para clarear):
  • Primeiro termo: a_1 = 5.
  • Último termo: a_n = 35.
  • A condição extra: “o número de termos é igual à razão” — ou seja, o número de termos n é igual à razão (razão = diferença comum) d, isto é \;n = d.
    O que se pede: determinar a progressão aritmética completa (ou seja, encontrar n, d e os termos).

Passo 2

Definir variáveis e lembrar a ideia básica de progressão aritmética de forma bem direta:
  • Seja d a razão (diferença comum) da PA.
  • Seja n o número de termos.
  • Em uma PA, o k-ésimo termo é obtido somando a razão repetidas vezes ao primeiro termo. Isso é expresso pela fórmula do termo geral:
a_k = a_1 + (k-1)d.
Aqui a_k é o termo de ordem k, a_1 é o primeiro termo e d é a razão.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao último termo da PA (o termo de ordem n):
a_n = a_1 + (n-1)d.
Substituindo os valores que o enunciado deu ( a_n=35 e a_1=5):
35 = 5 + (n-1)d.

Passo 4

Usar a condição extra do enunciado \;n=d. Substituindo n por d na equação do passo anterior:
35 = 5 + (d-1)d.
Agora vamos transformar isso numa equação algébrica simples.

Passo 5

Expandir e reorganizar a equação para obter um polinômio:
35 = 5 + d(d-1) = 5 + d^2 - d.
Passando todos os termos para o mesmo lado:
d^2 - d + 5 - 35 = 0
ou seja
d^2 - d - 30 = 0.

Passo 6

Resolver a equação quadrática \;d^2 - d - 30 = 0 usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121.
Como \sqrt{\Delta} = \sqrt{121} = 11, as raízes são
d = \frac{1 \pm 11}{2}.
Calculando as duas opções:
d = \frac{1+11}{2} = 6 \qquad\text{ou}\qquad d = \frac{1-11}{2} = -5.

Passo 7

Selecionar a solução válida usando o significado físico/matemático das quantidades:
  • n é número de termos, logo n deve ser um inteiro positivo.
  • A condição é n=d. Portanto d também precisa ser um inteiro positivo.
    Das duas raízes encontradas, d=6 é aceitável (positivo) e d=-5 não é aceitável (negativo, implicaria n=-5 que não faz sentido). Logo:
d = 6,\qquad n = 6.

Passo 8

Encontrar os termos da PA com a_1=5, d=6 e n=6.
Usando a fórmula do termo geral para k=1,2,\dots,6:
a_k = 5 + (k-1)\cdot 6 = 6k - 1.
Logo os termos são:
a_1 = 5,\quad a_2 = 11,\quad a_3 = 17,\quad a_4 = 23,\quad a_5 = 29,\quad a_6 = 35.

Resposta

5,\;11,\;17,\;23,\;29,\;35

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