O primeiro termo numa progressão aritmética é 5 e o último é 35. Determinar a progressão sabendo-se que o número de termos é igual à razão.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto para clarear):
- Primeiro termo:
. - Último termo:
. - A condição extra: “o número de termos é igual à razão” — ou seja, o número de termos
é igual à razão (razão = diferença comum) , isto é .
O que se pede: determinar a progressão aritmética completa (ou seja, encontrar, e os termos).
Passo 2
Definir variáveis e lembrar a ideia básica de progressão aritmética de forma bem direta:
- Seja
a razão (diferença comum) da PA. - Seja
o número de termos. - Em uma PA, o
-ésimo termo é obtido somando a razão repetidas vezes ao primeiro termo. Isso é expresso pela fórmula do termo geral:
Aqui
é o termo de ordem
,
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao último termo da PA (o termo de ordem
):
Substituindo os valores que o enunciado deu (
e
):
Passo 4
Usar a condição extra do enunciado
. Substituindo
por
na equação do passo anterior:
Agora vamos transformar isso numa equação algébrica simples.
Passo 5
Expandir e reorganizar a equação para obter um polinômio:
Passando todos os termos para o mesmo lado:
ou seja
Passo 6
Resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
Como
, as raízes são
Calculando as duas opções:
Passo 7
Selecionar a solução válida usando o significado físico/matemático das quantidades:
-
é número de termos, logo deve ser um inteiro positivo. - A condição é
. Portanto também precisa ser um inteiro positivo.
Das duas raízes encontradas,é aceitável (positivo) e não é aceitável (negativo, implicaria que não faz sentido). Logo:
Passo 8
Encontrar os termos da PA com
,
e
.
Usando a fórmula do termo geral para :
Usando a fórmula do termo geral para
Logo os termos são: