[1,2] O limite da soma dos termos da progressão geométrica: a, 2, \ldots, é 49/5. Calcular a.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Os termos de uma progressão geométrica começam por a, 2, \ldots.
  • O limite da soma dos termos (ou seja, a soma da série geométrica infinita) é \dfrac{49}{5}.
O que o problema pede:
  • Calcular o valor de a (o primeiro termo) que torna a soma infinita igual a \dfrac{49}{5}.

Passo 2

Entendendo progressão geométrica e soma infinita (aulas rápidas e amigas).
  • Numa progressão geométrica (PG), cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão r. Se o primeiro termo é a, o segundo é ar. Aqui nos deram o segundo termo igual a 2. Portanto a razão é
r=\frac{\text{segundo termo}}{\text{primeiro termo}}=\frac{2}{a}.
  • A soma dos n primeiros termos de uma PG com primeiro termo a e razão r\neq1 é
S_n=a\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Explicação curta: essa fórmula vem de multiplicar S_n por r e subtrair, ficando só a diferença entre primeiro e último termo multiplicada por fator (1-r). Não precisa decorar de olhos fechados, só lembrar da ideia: soma de potências com fator comum.
  • Para que exista soma infinita (limite quando n\to\infty), precisamos que os termos vão para zero suficientemente rápido; a condição é |r|<1. Se |r|<1, então r^{n}\to0 quando n\to\infty, e a soma infinita é
S=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^{n}}{1-r}= \frac{a}{1-r}.
Observe cada símbolo: S é a soma infinita, a é o primeiro termo, r é a razão.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao nosso caso.
  • Já sabemos r=\dfrac{2}{a}.
  • A soma infinita dada é S=\dfrac{49}{5}. Usando \displaystyle S=\frac{a}{1-r} obtemos
\frac{a}{1-\dfrac{2}{a}}=\frac{49}{5}.

Passo 4

Resolver a equação algébrica passo a passo.
  • Simplificar o denominador:
1-\frac{2}{a}=\frac{a-2}{a}.
  • Então
\frac{a}{\dfrac{a-2}{a}}=\frac{a^2}{a-2}.
  • Igualando à soma:
\frac{a^2}{a-2}=\frac{49}{5}.
  • Multiplicando em cruz:
5a^2=49(a-2).
  • Desenvolvendo o lado direito e reorganizando:
5a^2=49a-98 \quad\Rightarrow\quad 5a^2-49a+98=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática.
  • Calcular o discriminante \Delta:
\Delta=b^2-4ac=49^2-4\cdot5\cdot98=2401-1960=441.
  • \sqrt{\Delta}=21.
  • As raízes são
a=\frac{49\pm21}{2\cdot5}=\frac{49\pm21}{10}.
  • Portanto as soluções são
a=\frac{49+21}{10}=\frac{70}{10}=7 \quad\text{ou}\quad a=\frac{49-21}{10}=\frac{28}{10}=\frac{14}{5}.

Passo 6

Verificar a condição de existência da soma infinita: |r|<1.
  • Lembrando r=\dfrac{2}{a}. Precisamos de \left|\dfrac{2}{a}\right|<1, isto é |a|>2.
  • Para a=7 temos |a|=7>2, válido.
  • Para a=\dfrac{14}{5}=2{,}8 temos |a|=2{,}8>2, também válido.
Ambas as soluções são aceitáveis e satisfazem a condição necessária para a soma infinita.

Resposta

a=7
a=\dfrac{14}{5}

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