[1,2] O limite da soma dos termos da progressão geométrica:
, é 49/5. Calcular
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Os termos de uma progressão geométrica começam por
. - O limite da soma dos termos (ou seja, a soma da série geométrica infinita) é
.
O que o problema pede:
- Calcular o valor de
(o primeiro termo) que torna a soma infinita igual a .
Passo 2
Entendendo progressão geométrica e soma infinita (aulas rápidas e amigas).
- Numa progressão geométrica (PG), cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão
. Se o primeiro termo é , o segundo é . Aqui nos deram o segundo termo igual a . Portanto a razão é
- A soma dos
primeiros termos de uma PG com primeiro termo e razão é
Explicação curta: essa fórmula vem de multiplicar
por
e subtrair, ficando só a diferença entre primeiro e último termo multiplicada por fator
. Não precisa decorar de olhos fechados, só lembrar da ideia: soma de potências com fator comum.
- Para que exista soma infinita (limite quando
), precisamos que os termos vão para zero suficientemente rápido; a condição é . Se , então quando , e a soma infinita é
Observe cada símbolo:
é a soma infinita,
é o primeiro termo,
é a razão.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao nosso caso.
- Já sabemos
. - A soma infinita dada é
. Usando obtemos
Passo 4
Resolver a equação algébrica passo a passo.
- Simplificar o denominador:
- Então
- Igualando à soma:
- Multiplicando em cruz:
- Desenvolvendo o lado direito e reorganizando:
Passo 5
Resolver a equação quadrática.
- Calcular o discriminante
:
-
. - As raízes são
- Portanto as soluções são
Passo 6
Verificar a condição de existência da soma infinita:
.
- Lembrando
. Precisamos de , isto é . - Para
temos , válido. - Para
temos , também válido.
Ambas as soluções são aceitáveis e satisfazem a condição necessária para a soma infinita.