Usar o método da variação de parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO (x+1)y’’+y’=2 pelo método de variação de parâmetros. Trata-se de uma equação linear de 2ª ordem não homogênea que, em forma padrão, fica:
Passo 2
Para achar a solução homogênea, consideramos y’’+\tfrac{1}{x+1}y’=0. Definindo u=y’, obtemos a eq. de 1ª ordem
Com fator integrante x+1, vem (x+1)u=C_1, ou u=C_1/(x+1). Integrando y’ = u dá
Passo 3
Dessa forma, podemos tomar como soluções fundamentais
y_1=1 e y_2=\ln(x+1). Calculamos o Wronskiano:
y_1=1 e y_2=\ln(x+1). Calculamos o Wronskiano:
Passo 4
Pelas fórmulas da variação de parâmetros, com g(x)=2/(x+1), temos
Passo 5
Substituindo,
Integrando,
Passo 6
A solução particular é
Simplificando,
Passo 7
A solução geral é y=y_h+y_p, ou seja
Renomeando as constantes, obtemos a forma final