[1,0] Usar o método da variação de parâmetros.
(x+1) y^prime prime+y^prime=2

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO (x+1)y’’+y’=2 pelo método de variação de parâmetros. Trata-se de uma equação linear de 2ª ordem não homogênea que, em forma padrão, fica:
y''+1x+1y'=2x+1

Passo 2

Para achar a solução homogênea, consideramos y’’+\tfrac{1}{x+1}y’=0. Definindo u=y’, obtemos a eq. de 1ª ordem
(x+1)u'+u=0Longrightarrow u'+1x+1u=0
Com fator integrante x+1, vem (x+1)u=C_1, ou u=C_1/(x+1). Integrando y’ = u dá
yh = C1ln(x+1)+C2

Passo 3

Dessa forma, podemos tomar como soluções fundamentais
y_1=1 e y_2=\ln(x+1). Calculamos o Wronskiano:
W=1 & ln(x+1)[6pt]0 & 1/(x+1)=1x+1

Passo 4

Pelas fórmulas da variação de parâmetros, com g(x)=2/(x+1), temos
u1'=-y2,g(x)W, u2'=y1,g(x)W

Passo 5

Substituindo,
nu1'=-ln(x+1)cdot2/(x+1)1/(x+1)=-2ln(x+1), nu2'=1cdot2/(x+1)1/(x+1)=2
Integrando,
nu1=-2integralln(x+1),dx=-2l[(x+1)ln(x+1)-(x+1)r], nu2=2x

Passo 6

A solução particular é
yp=nu1y1+nu2y2=-2l[(x+1)ln(x+1)-(x+1)r]+2xln(x+1)
Simplificando,
yp=-2ln(x+1)+2x+2

Passo 7

A solução geral é y=y_h+y_p, ou seja
y=C1ln(x+1)+C2-2ln(x+1)+2x+2
Renomeando as constantes, obtemos a forma final

Resposta

y(x)=2x+C1+C2ln(x+1)

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