Encontre, usando o método de integração por partes, as integrais indefinidas abaixo:
integral arctg(2024 x) d x

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem que resolver a integral indefinida de . Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente no tópico de integrais. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica bem útil para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser $ u $ e $ dv $. Para isso, vamos deixar $ u = \arctg(2024x) $ e $ dv = dx $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar $ du $ e $ v $. Começando por $ du $:
A derivada de $ \arctg(2024x) $ em relação a $ x $ é:
du
E já que $ dv = dx $, basta integrar para achar $ v $:
v

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral que sobrou:
integral x cdot 20241 + (2024x)^2 , dx
Vamos simplificar essa expressão:
2024 integral x1 + (2024x)^2 , dx
Para resolver isso, fazemos uma substituição. Seja $ t = 1 + (2024x)^2 $, então a derivada de $ t $ em relação a $ x $ é:
t = 1 + (2024x)^2

Passo 6

Substituindo na integral:
2024 integral 1t cdot dt2 cdot 2024^2 = 20242 cdot 2024^2 integral 1t , dt = 14048 ln|t| + C
Voltando para $ t = 1 + (2024x)^2 $:
t = 1 + (2024x)^2

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na expressão original da integração por partes:

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados