Encontre, usando o método de integração por partes, as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem que resolver a integral indefinida de . Isso está dentro da matéria de Cálculo, especificamente no tópico de integrais. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica bem útil para integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser $ u $ e $ dv $. Para isso, vamos deixar $ u = \arctg(2024x) $ e $ dv = dx $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar $ du $ e $ v $. Começando por $ du $:
A derivada de $ \arctg(2024x) $ em relação a $ x $ é:
A derivada de $ \arctg(2024x) $ em relação a $ x $ é:
E já que $ dv = dx $, basta integrar para achar $ v $:
Passo 4
Substituindo na fórmula da integração por partes:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral que sobrou:
Vamos simplificar essa expressão:
Para resolver isso, fazemos uma substituição. Seja $ t = 1 + (2024x)^2 $, então a derivada de $ t $ em relação a $ x $ é:
Passo 6
Substituindo na integral:
Voltando para $ t = 1 + (2024x)^2 $:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na expressão original da integração por partes:
Resposta
A integral indefinida é: