Encontre, usando o método de integração de substituição trigonométrica, as integrais indefinidas:
integral 1raiz2024+x^2 d x

Passo 1

Neste exercício queremos encontrar a integral indefinida integral 1raiz2024 + x^2,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo principal é reconhecer a forma raiza^2 + x^2 e usar a troca adequada.

Passo 2

Fazemos a troca x = raiz2024,tantheta. Assim, temos
dx = raiz2024,sec^2theta,dtheta
e
raiz2024 + x^2 = raiz2024,sectheta
considerando thetain(-tfracpi2,tfracpi2) para garantir sectheta>0.

Passo 3

Substituindo esses resultados na integral original obtemos
integral 1raiz2024 + x^2,dx = integral raiz2024,sec^2thetaraiz2024,sectheta,dtheta = integral sectheta,dtheta

Passo 4

Recordando que
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C,
éssa é a antiderivada em termos de theta.

Passo 5

Agora voltamos para x. Sabendo que tantheta = tfracxraiz2024 e sectheta = tfracraiz2024 + x^2raiz2024, temos
lnl|sectheta + tanthetar| = ln! l|raiz2024 + x^2 + xraiz2024r|
O termo -lnraiz2024 é constante e pode ser absorvido em C.

Resposta

lnl|x + raiz2024 + x^2r| + C

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