[1,0] Verifique a convergência ou divergência da sequência \left\{a_{n}\right\}, com a_{n}=\frac{n^{2}}{5 n^{2}+4}. O que podemos concluir da série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{2}}{5 n^{2}+4}. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência
\displaystyle a_{n}=\frac{n^{2}}{5n^{2}+4}
e, em seguida, concluir o que acontece com a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{5n^{2}+4}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de sequência e o teste do termo geral para séries.

Passo 2

Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{5n^{2}+4}
dividindo numerador e denominador por n^{2}, o que dá
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{5 + \frac{4}{n^{2}}} =\frac{1}{5}.
Portanto, a sequência converge e seu limite é \frac{1}{5}.

Passo 3

Para a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{5n^{2}+4}
aplicamos o teste do termo geral: se
\lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0, a série diverge. Como
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{1}{5}\neq 0,
concluímos que a série diverge.

Resposta

A sequência converge para \displaystyle\frac{1}{5} e a série diverge pelo teste do termo geral.

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