[1,0] Seja a \in \mathbb{R} tal que a \neq 0. Verifique para quais valores de r a série \sum_{n=1}^{+\infty} a r^{n-1} é convergente. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de r\in\mathbb{R} a série
\sum_{n=1}^{+\infty} a\,r^{n-1}
(onde a\neq 0) converge.
Conteúdo: séries geométricas e critério da razão.
O critério da razão diz que a série converge se, e somente se, esse limite for menor que 1, ou seja, \lvert r\rvert<1.
Passo 4
Se \lvert r\rvert<1, a série converge (e sua soma vale \displaystyle\frac{a}{1-r}).
Se \lvert r\rvert\ge1, a série diverge (para r=1 soma-se a+a+\dots, para r=-1 oscila, e para \lvert r\rvert>1 os termos não tendem a zero).
Resposta
A série \sum_{n=1}^{+\infty}a\,r^{n-1} converge exatamente para