[1,0] Seja a \in \mathbb{R} tal que a \neq 0. Verifique para quais valores de r a série \sum_{n=1}^{+\infty} a r^{n-1} é convergente. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de r\in\mathbb{R} a série
\sum_{n=1}^{+\infty} a\,r^{n-1}
(onde a\neq 0) converge.
Conteúdo: séries geométricas e critério da razão.

Passo 2

Reconhecemos que, ao fatorar a, a série fica
\sum_{n=1}^{+\infty} a\,r^{n-1} = a\sum_{n=0}^{+\infty}r^n,
que é exatamente a série geométrica de razão r.

Passo 3

Usando o critério da razão para termos b_n=a\,r^{n-1}:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\bigl|r\bigr| =\bigl|r\bigr|.
O critério da razão diz que a série converge se, e somente se, esse limite for menor que 1, ou seja, \lvert r\rvert<1.

Passo 4

Se \lvert r\rvert<1, a série converge (e sua soma vale \displaystyle\frac{a}{1-r}).
Se \lvert r\rvert\ge1, a série diverge (para r=1 soma-se a+a+\dots, para r=-1 oscila, e para \lvert r\rvert>1 os termos não tendem a zero).

Resposta

A série \sum_{n=1}^{+\infty}a\,r^{n-1} converge exatamente para
\lvert r\rvert<1.

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