Calcule a integral.
\int \frac{d x}{x \sqrt{2 x-25}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{x\,\sqrt{2x-25}}.
O conteúdo que vamos usar é uma substituição que elimina a raiz quadrada, transformando a integral numarctan padrão.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{2x - 25},
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u^2 = 2x - 25 \quad\Longrightarrow\quad 2u\,du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = u\,du.

Passo 3

Expressamos também x em função de u:
u^2 = 2x - 25 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{u^2 + 25}{2}.
Substituindo na integral original, temos
\int \frac{dx}{x\,\sqrt{2x-25}} = \int \frac{u\,du}{\bigl(\tfrac{u^2+25}{2}\bigr)\,u} = 2 \int \frac{du}{u^2 + 25}.

Passo 4

A integral restante é da forma
\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{a}\Bigr) + C.
Aqui a^2 = 25, ou seja, a = 5. Portanto
2 \int \frac{du}{u^2 + 25} = 2 \cdot \frac{1}{5}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{5}\Bigr) + C = \frac{2}{5}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{5}\Bigr) + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, lembrando que u = \sqrt{2x-25}, obtemos a resposta final.

Resposta

\int \frac{dx}{x\,\sqrt{2x-25}} = \frac{2}{5}\,\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{2x-25}}{5}\Bigr) + C.

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