[1], 2] Calcule as integrais. No item ©, escreva uma interpretação da integral via volume de sólidos.
integral2^3 integral1^2 integral0^1 8 d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral2^3 integral1^2 integral0^1 8 , dx , dy , dz. Isso envolve entender integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que são usadas para calcular volumes ou outras quantidades em três dimensões. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando por uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a x. A função que estamos integrando é constante, 8, e os limites para x são de 0 a 1. A integral de uma constante k em relação a x de a a b é simplesmente k times (b - a). Então:
integral0^1 8 , dx = 8 times (1 - 0) = 8

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y. Nosso novo integrando é 8, e os limites para y são de 1 a 2. Aplicando a mesma lógica:
integral1^2 8 , dy = 8 times (2 - 1) = 8

Passo 4

Por último, vamos integrar esse resultado em relação a z. Mais uma vez, o integrando é 8, e os limites para z são de 2 a 3:
integral2^3 8 , dz = 8 times (3 - 2) = 8

Passo 5

Agora, multiplicamos os resultados das integrais sequenciais para obter o valor final da integral tripla:
8 times 8 times 8 = 512

Passo 6

Para a parte ©, precisamos interpretar essa integral como um volume de sólido. Em integrais triplas, quando integramos uma função constante sobre um volume, o resultado geralmente representa o produto da função pela medida desse volume. Neste caso, como a função é 8, a integral representa 8 vezes o volume do paralelepípedo definido pelos limites de integração. Portanto, o volume do sólido é 512 unidades cúbicas.

Resposta

O valor da integral tripla é 512.

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