[1], 2] Calcule as integrais. No item ©, escreva uma interpretação da integral via volume de sólidos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
. Isso envolve entender integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que são usadas para calcular volumes ou outras quantidades em três dimensões. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando por uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. A função que estamos integrando é constante,
, e os limites para
são de
a
. A integral de uma constante
em relação a
de
a
é simplesmente
. Então:
Passo 3
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
. Nosso novo integrando é
, e os limites para
são de
a
. Aplicando a mesma lógica:
Passo 4
Por último, vamos integrar esse resultado em relação a
. Mais uma vez, o integrando é
, e os limites para
são de
a
:
Passo 5
Agora, multiplicamos os resultados das integrais sequenciais para obter o valor final da integral tripla:
Passo 6
Para a parte ©, precisamos interpretar essa integral como um volume de sólido. Em integrais triplas, quando integramos uma função constante sobre um volume, o resultado geralmente representa o produto da função pela medida desse volume. Neste caso, como a função é
, a integral representa
vezes o volume do paralelepípedo definido pelos limites de integração. Portanto, o volume do sólido é
unidades cúbicas.
Resposta
O valor da integral tripla é
.