[1], 2] Calcule as integrais. No item ©, escreva uma interpretação da integral via volume de sólidos.
integral triplaB z sin x cos y d V, onde B=(x, y, z) mid 0 <= x <= pi, 3 pi / 2 <= y <= 2 pi, 1 <= z <= 3.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral tripla integral triplaB zsin xcos y,dV, sendo
B=(x,y,z)mid 0<= x<=pi,;3pi/2<= y<=2pi,;1<= z<=3. O conteúdo é integração em coordenadas cartesianas sobre um paralelepípedo. Vamos usar a propriedade de que, em domínios retangulares, a integral tripla se separa em produto de integrais simples.

Passo 2

Como o domínio é retangular, podemos escrever
integral triplaB zsin xcos y,dV = integralx=0^pi sin x,dx ;times; integraly=3pi/2^2pi cos y,dy ;times; integralz=1^3 z,dz

Passo 3

Calculemos cada integral. Primeiro,
integral0^pi sin x,dx = [-cos x]0^pi = (-cospi) - (-cos0) = -(-1) - ( -1 ) = 2

Passo 4

Agora,
integral3pi/2^2pi cos y,dy = [sin y]3pi/2^2pi = sin(2pi) - sin(3pi/2) = 0 - (-1) = 1

Passo 5

E, por fim,
integral1^3 z,dz = l[tfracz^22r]1^3 = tfrac92 - tfrac12 = 4

Passo 6

Multiplicando os resultados:
2 times 1 times 4 = 8

Passo 7

Interpretação via volume de sólidos: como a função f(x,y,z)=zsin xcos y é não-negativa em B (pois sin x>=0 em [0,pi], cos y>=0 em [3pi/2,2pi] e z>=1), podemos ver integral triplaB f,dV como o volume do sólido em (x,y,z,w)-espaço definido por
E = (x,y,z,w)mid (x,y,z)in B,;0<= w<= zsin xcos y
Esse é o volume do corpo sob o “gráfico” de w=f(x,y,z) acima da base B.

Resposta

8

Exercícios relacionados