Mostre que se uma série de números complexos sumk=0^infty zk converge, então o termo geral da série zk converge para zero se k tender ao infinito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a série de números complexos sumk=0^infty zk converge, então o termo geral zk deve tender a zero quando ktoinfty. O conteúdo que vamos usar é o conceito de soma parcial de uma série e a definição de convergência de sequência em C.

Passo 2

Vamos chamar de sn a soma parcial da série, ou seja,
sn = sumk=0^n zk

Passo 3

Como a série converge, existe um SinC tal que snto S quando ntoinfty. Para cada n>=1, podemos escrever
zn = sn - sn-1

Passo 4

Agora aplicamos o operador limite aos dois lados. Como snto S e sn-1to S, temos
limntoinfty zn = limntoinfty(sn - sn-1) = S - S = 0

Resposta

limktoinfty zk = 0

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