[1], 2] Calcule as integrais. No item ©, escreva uma interpretação da integral via volume de sólidos.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral tripla, que envolve três integrais aninhadas:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função
primeiro em relação a
, depois em relação a
e, por fim, em relação a
.
Passo 2
Vamos começar integrando a função
em relação a
, mantendo
e
constantes. A integral de
em relação a
é
, a de
é
e a de
em relação a
é
.
Então, a integral em relação a
fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois resultados:
Passo 4
Agora, temos uma expressão mais simples para integrar. Vamos integrar
em relação a
, com
indo de 0 a 2:
A integral de
em relação a
é
e a de
é
.
Então:
Passo 5
Vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois resultados:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
, com
indo de 1 a 2:
A integral de
em relação a
é
e a de
é
.
Então:
Passo 7
Vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois resultados:
Passo 8
Finalmente, a integral tripla foi calculada e o resultado final é
.
Resposta
O valor da integral tripla é
.