[1], 2] Calcule as integrais. No item ©, escreva uma interpretação da integral via volume de sólidos.
integral1^2 integral0^2 integral-1^1 2+z^2-x y d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral tripla, que envolve três integrais aninhadas:
integral1^2 integral0^2 integral-1^1 (2 + z^2 - xy) , dz , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função 2 + z^2 - xy primeiro em relação a z, depois em relação a x e, por fim, em relação a y.

Passo 2

Vamos começar integrando a função 2 + z^2 - xy em relação a z, mantendo x e y constantes. A integral de 2 em relação a z é 2z, a de z^2 é z^33 e a de -xy em relação a z é -xy z.
Então, a integral em relação a z fica:
integral-1^1 (2 + z^2 - xy) , dz = [2z + z^33 - xy z ]-1^1

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de z = 1 e z = -1:
Para z = 1:
2(1) + (1)^33 - xy(1) = 2 + 13 - xy = 73 - xy
Para z = -1:
2(-1) + (-1)^33 - xy(-1) = -2 - 13 + xy = -73 + xy
Subtraindo os dois resultados:
( 73 - xy ) - ( -73 + xy ) = 143 - 2xy

Passo 4

Agora, temos uma expressão mais simples para integrar. Vamos integrar 143 - 2xy em relação a x, com x indo de 0 a 2:
integral0^2 ( 143 - 2xy ) dx
A integral de 143 em relação a x é 143x e a de -2xy é -2y x^22 = -y x^2.
Então:
[ 143x - y x^2 ]0^2

Passo 5

Vamos avaliar essa expressão nos limites de x = 2 e x = 0:
Para x = 2:
143(2) - y(2)^2 = 283 - 4y
Para x = 0:
143(0) - y(0)^2 = 0
Subtraindo os dois resultados:
283 - 4y

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y, com y indo de 1 a 2:
integral1^2 ( 283 - 4y ) dy
A integral de 283 em relação a y é 283y e a de -4y é -2y^2.
Então:
[ 283y - 2y^2 ]1^2

Passo 7

Vamos avaliar essa expressão nos limites de y = 2 e y = 1:
Para y = 2:
283(2) - 2(2)^2 = 563 - 8 = 563 - 243 = 323
Para y = 1:
283(1) - 2(1)^2 = 283 - 2 = 283 - 63 = 223
Subtraindo os dois resultados:
323 - 223 = 103

Passo 8

Finalmente, a integral tripla foi calculada e o resultado final é 103.

Resposta

O valor da integral tripla é 103.

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