[1] [2.5 pontos] Considere às matrizes a seguir:
A=[rrr 1 & 2 & 1 3 & 1 & 0 1 & -2 & 3 ], B=[lll 2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 2 & 4 & 1 ], e C=[lll 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 ]
Determine as matrizes X e Y tais que: l2 X+Y=A X-2 Y=B, em que A e B são as matrizes definidas acima. Calcule 5 A+(C B)^T-C^-1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) resolver o sistema de matrizes
2X + Y = A, X - 2Y = B,
onde
A= 1 & 2 & 1 3 & 1 & 0 1 & -2 & 3 , B= 2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 2 & 4 & 1 ,
e (ii) calcular
5A + (C,B)^T - C^-1,
sendo
C= 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
O conteúdo envolvido é solução de sistemas lineares em incógnitas matriciais e operações básicas de matrizes (multiplicação, transposição, inversa, soma e multiplicação escalar).

Passo 2

Para achar X e Y note que podemos eliminar Y. Multiplique a primeira equação por 2 e some com a segunda:
&4X + 2Y = 2A, &;;(X - 2Y = B),hline &5X = 2A + B
Logo
X = tfrac15l(2A + Br)
Depois voltamos em 2X + Y = A para obter
Y = A - 2X = A - tfrac25(2A + B) = tfrac15l(A - 2Br)

Passo 3

Agora vamos calcular C,B. Multiplicando
C = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 por B = 2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 2 & 4 & 1 ,
temos
C,B = 1!cdot!(2,1,1)+1!cdot!(1,1,1)+1!cdot!(2,4,1) 0!cdot!(2,1,1)+1!cdot!(1,1,1)+1!cdot!(2,4,1) 0!cdot!(2,1,1)+0!cdot!(1,1,1)+1!cdot!(2,4,1) = 5 & 6 & 3 3 & 5 & 2 2 & 4 & 1

Passo 4

A transposta de C,B é
(C,B)^T = 5 & 3 & 2 6 & 5 & 4 3 & 2 & 1

Passo 5

Para inverter
C= 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 ,
observamos que C é triangular superior unitária. Sua inversa também será triangular superior com 1 na diagonal e, por cálculo direto de C,C^-1=I,
C^-1 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

Passo 6

Finalmente, montamos
5A =5 1 & 2 & 1 3 & 1 & 0 1 & -2 & 3 = 5 & 10 & 5 15 & 5 & 0 5 & -10 & 15 ,
e somamos/subtraímos conforme pedido:
5A + (C,B)^T - C^-1 = 5 &10 & 5 15& 5 & 0 5 &-10&15 + 5 & 3 & 2 6 & 5 & 4 3 & 2 & 1 - 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1
Calculando entrada a entrada obtemos
5+5-1 & 10+3-(-1) & 5+2-0 15+6-0 & 5+5-1 & 0+4-(-1) 5+3-0 & -10+2-0 & 15+1-1 = 9 & 14 & 7 21 & 9 & 5 8 & -8 & 15

Resposta

X = tfrac15,(2A + B), Y = tfrac15,(A - 2B),
5A + (C B)^T - C^-1 = 9 & 14 & 7 21 & 9 & 5 8 & -8 & 15

Exercícios relacionados