ANALISE AS AFIRMAÇÕES A SEGUIR *
Considere a cônica, no sistema de eixos ortogonais XOY, dada pela equação
3 x^2-4 x y+3 y^2+30 x-30 y+80=0
Seja barX O barY o sistema obtido pela rotação do sistema X O Y por um ângulo theta.
I. Os focos da cônica, no sistema X O Y, estão sobre a reta y=x+6.
II. A excentricidade é um número maior do que 1 .
As afirmações (I) e (II) são falsas.
A afirmação (I) é falsa e (II) é verdadeira.
A afirmação (I) é verdadeira e (II) é falsa.
As afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
3x^2-4xy+3y^2+30x-30y+80=0
e pede para avaliar as afirmações sobre (I) a reta que contém os focos e (II) a excentricidade e>1. Para resolver, vamos (a) encontrar o centro da cônica, (b) deslocar a origem para o centro e escrever a forma matricial do termo quadrático, (c) classificar a cônica via discriminante e autovalores, (d) calcular os semieixos e e, e (e) determinar a direção do eixo maior (reta dos focos).

Passo 2

Para achar o centro (x0,y0) resolvemos
partialpartial x(3x^2-4xy+3y^2+30x-30y+80)=0, partialpartial y(dots)=0
Isto dá
6x -4y +30 =0, -4x +6y -30 =0
Resolvendo o sistema obtemos x0=-3 e y0=3.

Passo 3

Fazendo a translação
x = X -3, y = Y +3
achamos que a parte quadrática passa a ser
3X^2 -4XY +3Y^2 =10

Passo 4

Na forma matricial o termo quadrático é
Como , é elipse. Os autovalores de são
logo
Para elipse . Assim (II) é falsa.

Passo 5

O eixo maior corresponde ao menor autovalor lambda=1, cujo autovetor satisfaça x=y. Em coordenadas originais isso é
X=Y ;Longrightarrow; x+3 = y-3 ;Longrightarrow; y = x + 6
Logo os focos ficam sobre a reta y=x+6, tornando (I) verdadeira.

Resposta

A afirmação (I) é verdadeira e (II) é falsa.

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