ANALISE AS AFIRMAÇÕES A SEGUIR *
Considere a cônica, no sistema de eixos ortogonais XOY, dada pela equação
Seja
o sistema obtido pela rotação do sistema
por um ângulo
.
I. Os focos da cônica, no sistema
, estão sobre a reta
.
II. A excentricidade é um número maior do que 1 .
As afirmações (I) e (II) são falsas.
A afirmação (I) é falsa e (II) é verdadeira.
A afirmação (I) é verdadeira e (II) é falsa.
As afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
I. Os focos da cônica, no sistema
II. A excentricidade é um número maior do que 1 .
As afirmações (I) e (II) são falsas.
A afirmação (I) é falsa e (II) é verdadeira.
A afirmação (I) é verdadeira e (II) é falsa.
As afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede para avaliar as afirmações sobre (I) a reta que contém os focos e (II) a excentricidade
. Para resolver, vamos (a) encontrar o centro da cônica, (b) deslocar a origem para o centro e escrever a forma matricial do termo quadrático, (c) classificar a cônica via discriminante e autovalores, (d) calcular os semieixos e
, e (e) determinar a direção do eixo maior (reta dos focos).
Passo 2
Para achar o centro
resolvemos
Isto dá
Resolvendo o sistema obtemos
e
.
Passo 3
Fazendo a translação
achamos que a parte quadrática passa a ser
Passo 4
Na forma matricial o termo quadrático é
Como
, é elipse. Os autovalores de
são
logo
Para elipse
. Assim (II) é falsa.
Passo 5
O eixo maior corresponde ao menor autovalor
, cujo autovetor satisfaça
. Em coordenadas originais isso é
Logo os focos ficam sobre a reta
, tornando (I) verdadeira.
Resposta
A afirmação (I) é verdadeira e (II) é falsa.