[1] [2.5 pontos) Considere às matrizes a seguir:
A=[rrr 1 & 2 & 1 3 & -4 & 0 1 & -2 & 3 ] e B=[lll 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 ]
(a) Calcule 2 A-(B^-1)^T.
(b) Determine as matrizes X e Y tais que: lX+2 Y=A 2 X-Y=B

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
e pede em (a) calcular
Vamos usar operações de inversão e transposição de matrizes em (a) e, em (b), tratar como incógnitas sujeitas a combinações lineares, exatamente como resolvemos sistemas lineares de escalares.]

Passo 2

Como B é triangular superior com 1s na diagonal, escrevemos B = I + N com
N = B - I = 0 & 1 & 1 [3pt] 0 & 0 & 1 [3pt] 0 & 0 & 0,
sabendo que N^3 = 0. Logo
B^-1 = I - N + N^2 = 1 & -1 & 0 [3pt] 0 & 1 & -1 [3pt] 0 & 0 & 1
Transpondo,
(B^-1)^T = 1 & 0 & 0 [3pt] -1 & 1 & 0 [3pt] 0 & -1 & 1 ]

Passo 3

Calculamos primeiro 2A:
2A = 21 & 2 & 1 [3pt] 3 & -4 & 0 [3pt] 1 & -2 & 3 = 2 & 4 & 2 [3pt] 6 & -8 & 0 [3pt] 2 & -4 & 6
Então
2A - (B^-1)^T = 2 & 4 & 2 [3pt] 6 & -8 & 0 [3pt] 2 & -4 & 6 - 1 & 0 & 0 [3pt] -1 & 1 & 0 [3pt] 0 & -1 & 1 = 1 & 4 & 2 [3pt] 7 & -9 & 0 [3pt] 2 & -3 & 5 ]

Passo 4

Para o sistema
X + 2Y = A, 2X - Y = B,
tratamos como em álgebra linear: isolamos X ou Y. Da primeira equação
X = A - 2Y
e substituímos na segunda:
2(A - 2Y) - Y = B ;Longrightarrow; 2A -4Y -Y = B ;Longrightarrow; 2A -5Y = B ;Longrightarrow; Y = 2A - B5

Passo 5

Agora que
Y = 2A - B5,
vamos calcular 2A - B:
2A - B = 2 & 4 & 2 [3pt] 6 & -8 & 0 [3pt] 2 & -4 & 6 - 1 & 1 & 1 [3pt] 0 & 1 & 1 [3pt] 0 & 0 & 1 = 1 & 3 & 1 [3pt] 6 & -9 & -1 [3pt] 2 & -4 & 5
Logo
Y = 15 1 & 3 & 1 [3pt] 6 & -9 & -1 [3pt] 2 & -4 & 5 ]

Passo 6

Para X, usamos X = A - 2Y ou ainda combinamos as equações e achamos
X = A + 2B5
Calculando
A + 2B = 1 & 2 & 1 [3pt] 3 & -4 & 0 [3pt] 1 & -2 & 3 + 21 & 1 & 1 [3pt] 0 & 1 & 1 [3pt] 0 & 0 & 1 = 3 & 4 & 3 [3pt] 3 & -2 & 2 [3pt] 1 & -2 & 5,
então
X = 15 3 & 4 & 3 [3pt] 3 & -2 & 2 [3pt] 1 & -2 & 5 ]

Resposta

(a)
2A - (B^-1)^T = 1 & 4 & 2 [3pt] 7 & -9 & 0 [3pt] 2 & -3 & 5
(b)
X = 15 3 & 4 & 3 [3pt] 3 & -2 & 2 [3pt] 1 & -2 & 5 , Y = 15 1 & 3 & 1 [3pt] 6 & -9 & -1 [3pt] 2 & -4 & 5 ]

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