[3] [2.5 pontos] Resolva o sistema abaixo:
l x+y+z+w=2 2 x+3 y+z+4 w=5 -x+y-z+2 w=1

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de três equações lineares em quatro incógnitas x,y,z,w. Como há mais variáveis que equações, esperamos infinitas soluções e vamos usar o método de eliminação de Gauss para parametrizar a solução em função de uma variável livre.

Passo 2

Da primeira equação
x + y + z + w = 2
isolamos x:
x = 2 - y - z - w

Passo 3

Substituímos esse valor de x na segunda e na terceira equações:
2(2 - y - z - w) + 3y + z + 4w = 5,
-,l(2 - y - z - wr) + y - z + 2w = 1
Da primeira substituição obtemos
y - z + 2w = 1 Longrightarrow y = z - 2w + 1
Da segunda substituição chegamos a
2y + 3w = 3 Longrightarrow y = 3 - 3w2
Igualando as duas expressões para y:
z - 2w + 1 = 3 - 3w2 Longrightarrow 2z = w + 1 Longrightarrow z = w + 12

Passo 4

Usamos y e z em função de w para calcular x:
x = 2 - y - z - w = 2 - 3 - 3w2 - w + 12 - w = 0
Chamamos w de parâmetro t. Assim a solução geral fica parametrizada.

Resposta

(x,y,z,w) ;=;l(0,;tfrac3 - 3t2,;tfract + 12,;tr), tinR

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