[4] [2.5 pontos] Considere o sistema abaixo:
l k x+2 y=3 2 k y+4 z=6 y+(k-1) z=2
(a) Encontre todos os valores de k para os quais o sistema tem: (i) soluçāo única, (ii) mais de uma soluçāo e (iii) nenhuma soluçāo.
(b) Considere que k=1 no sistema acima. Resolva, o sistema por Cramer.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares com parâmetro via determinante (classificação de soluções) e, em seguida, aplicação da Regra de Cramer para (k=1].

Passo 2

Para classificar as soluções, montamos a matriz de coeficientes
A = k & 2 & 0 0 & 2k & 4 0 & 1 & k-1
e calculamos o determinante por cofactor na primeira coluna:
det(A) = k;det!2k&41&k-1 = kl(2k(k-1)-4cdot1r) = kl(2k^2-2k-4r) =2k(k^2-k-2) =2k(k-2)(k+1)
Logo det(A)neq0 se, e somente se, kneq0, kneq2 e kneq-1.

Passo 3

Se [\det(A)\neq0), o sistema tem solução única. Agora examinamos os casos singulares , e :
  1. Para obtemos
inconsistente.
  1. Para ).
  2. Para obtemos
e , inconsistente.
Em todos os casos singulares não há solução, e portanto nunca há infinitas soluções.

Passo 4

Para k=1 temos det(A)=2cdot1cdot(-1)cdot2=-4neq0. Aplicamos a Regra de Cramer. Seja
D=det 1&2&0 0&2&4 0&1&0 =-4
Substituindo a 1.ª coluna pelos termos independentes (3,6,2), obtemos
Dx =det 3&2&0 6&2&4 2&1&0 =4,
logo x=Dx/D=4/(-4)=-1.
Substituindo a 2.ª coluna,
Dy =det 1&3&0 0&6&4 0&2&0 =-8,
logo y=Dy/D=-8/(-4)=2.
Substituindo a 3.ª coluna,
Dz =det 1&2&3 0&2&6 0&1&2 =-2,
logo z=Dz/D=-2/(-4)=tfrac12.

Resposta

(i) Solução única para kneq0,-1,2.
(ii) Mais de uma solução: nenhum valor de k.
(iii) Nenhuma solução para k=0,,-1,2.
(b) Para k=1, a solução é
x=-1, y=2, z=tfrac12

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