ll [1-a] 4+x(1+2 x)(3-x) & [1-b] 1-xx^3+x^4 [3-a] 1x^2+x^4 & [3-b] x^3+1x^3-3 x^2-2 x [4-a] x^4-2 x^3+x^2+2 x-1x^2-2 x+1 & [4-b] x^2-1x^3+x^2+x [5-a] x^4+1x^5+4 x^3 & [5-b] 1(x^2-9)^2

Passo 1

O enunciado nos dá oito funções racionais e pede para escrevê-las em frações parciais. O conteúdo é decomposição em frações parciais de expressões racionais, para o que precisamos fatorar o denominador, comparar grau do numerador com o do denominador (e, se for o caso, fazer divisão polinomial) e depois montar o esquema de frações parciais apropriado.

Passo 2

Para decompor em frações parciais seguimos este roteiro geral: (i) fatorar completamente o denominador; (ii) se o grau do numerador ≥ grau do denominador, fazer divisão polinomial para obter quociente + resto sobre o denominador; (iii) escrever a soma de termos do tipo A/(x-a)^k, (Bx+C)/(x^2+px+q)^m conforme os fatores lineares e quadráticos; (iv) multiplicar por todo denominador, igualar coeficientes de potências de x e resolver o sistema para encontrar as constantes.

Passo 3

Para os casos [1-a] e [1-b]:
– [1-a] dfrac4+x(1+2x)(3-x). Montamos
4+x(2x+1)(3-x)=A2x+1+B3-x
Igualando numeradores obtemos o sistema -A+2B=1 e 3A+B=4, cuja solução é A=1,,B=1. Logo
dfrac1-xx^3+x^4=dfrac1-xx^3(1+x)
– [1-b] 1-xx^3(1+x)=Ax+Bx^2+Cx^3+D1+x . Escrevemos
A+D=0,;A+B=0,;B+C=-1,;C=1,
Daí igualdade de numeradores leva ao sistema
A=2,,B=-2,,C=1,,D=-2 resultando em Assim

Passo 4

Para os casos com denominador quadrático irreduzível ou misto sem precisar divisão: [3-a] e [4-b]:
– [3-a] dfrac1x^2+x^4=dfrac1x^2(1+x^2) Escrevemos
1x^2(1+x^2)=Ax+Bx^2+Cx+D1+x^2
Igualando numeradores dá A=0,;B=1,;C=0,;D=-1. Logo
dfracx^2-1x^3+x^2+x=dfracx^2-1x(x^2+x+1)
– [4-b] x^2-1x(x^2+x+1)=Ax+Bx+Cx^2+x+1 Montamos
A=-1,,B=2,,C=1
Igualando coeficientes resulta . Assim

Passo 5

Para os casos que exigem divisão polinomial antes da decomposição: [3-b] e [4-a]:
– [3-b] dfracx^3+1x^3-3x^2-2x Como os graus são iguais, dividimos:
3x^2+2x+1x(x^2-3x-2)=Ax+Bx+Cx^2-3x-2
Para o resto fazemos
A=-tfrac12,,B=tfrac72,,C=tfrac12
Resolvendo encontra-se dfracx^4-2x^3+x^2+2x-1x^2-2x+1. Logo
2x-1(x-1)^2=Ax-1+B(x-1)^2,
– [4-a] A=2,,B=1 Dividindo:

Para o resto:
com . Então

Passo 6

Para os casos mais elaborados de grau menor e fatores mistos: [5-a] e [5-b]:
– [5-a] dfracx^4+1x^5+4x^3=dfracx^4+1x^3(x^2+4) Escrevemos
x^4+1x^3(x^2+4)=Ax+Bx^2+Cx^3+Dx+Ex^2+4
Da igualdade de numeradores vem
A=-tfrac116,,B=0,,C=tfrac14,,D=tfrac1716,,E=0
– [5-b] 1(x-3)^2(x+3)^2=Ax-3+B(x-3)^2+Cx+3+D(x+3)^2 O esquema é
x=pm3
Resolvendo o sistema por comparação de coeficientes e valores de A=-tfrac1108,,B=tfrac136,,C=tfrac1108,,D=tfrac136 obtém-se

Resposta

[1-a] dfrac4+x(1+2x)(3-x)=dfrac12x+1+dfrac13-x
[1-b] dfrac1-xx^3+x^4=dfrac2x-dfrac2x^2+dfrac1x^3-dfrac21+x
[3-a] dfrac1x^2+x^4=dfrac1x^2-dfrac11+x^2
[3-b] dfracx^3+1x^3-3x^2-2x=1-dfrac12x+dfrac(7/2)x+1/2x^2-3x-2
[4-a] dfracx^4-2x^3+x^2+2x-1x^2-2x+1=x^2+dfrac2x-1+dfrac1(x-1)^2
[4-b] dfracx^2-1x^3+x^2+x=-dfrac1x+dfrac2x+1x^2+x+1
[5-a] dfracx^4+1x^5+4x^3=-dfrac116x+dfrac14x^3+dfrac(17/16)xx^2+4
[5-b] dfrac1(x^2-9)^2=-dfrac1108(x-3)+dfrac136(x-3)^2+dfrac1108(x+3)+dfrac136(x+3)^2

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