Passo 1
O enunciado nos dá oito funções racionais e pede para escrevê-las em frações parciais. O conteúdo é decomposição em frações parciais de expressões racionais, para o que precisamos fatorar o denominador, comparar grau do numerador com o do denominador (e, se for o caso, fazer divisão polinomial) e depois montar o esquema de frações parciais apropriado.
Passo 2
Para decompor em frações parciais seguimos este roteiro geral: (i) fatorar completamente o denominador; (ii) se o grau do numerador ≥ grau do denominador, fazer divisão polinomial para obter quociente + resto sobre o denominador; (iii) escrever a soma de termos do tipo
,
conforme os fatores lineares e quadráticos; (iv) multiplicar por todo denominador, igualar coeficientes de potências de
e resolver o sistema para encontrar as constantes.
Passo 3
Para os casos [1-a] e [1-b]:
– [1-a]
. Montamos
Igualando numeradores obtemos o sistema
e
, cuja solução é
. Logo
– [1-b]
. Escrevemos
Daí igualdade de numeradores leva ao sistema
resultando em
Assim
Passo 4
Para os casos com denominador quadrático irreduzível ou misto sem precisar divisão: [3-a] e [4-b]:
– [3-a]
Escrevemos
Igualando numeradores dá
. Logo
– [4-b]
Montamos
Igualando coeficientes resulta
. Assim
Passo 5
Para os casos que exigem divisão polinomial antes da decomposição: [3-b] e [4-a]:
– [3-b]
Como os graus são iguais, dividimos:
Para o resto fazemos
Para o resto fazemos
Resolvendo encontra-se
. Logo
– [4-a]
Dividindo:
Para o resto:
Para o resto:
com
. Então
Passo 6
Para os casos mais elaborados de grau menor e fatores mistos: [5-a] e [5-b]:
– [5-a]
Escrevemos
Da igualdade de numeradores vem
– [5-b]
O esquema é
Resolvendo o sistema por comparação de coeficientes e valores de
obtém-se
Resposta
[1-a]
[1-b]
[3-a]
[3-b]
[4-a]
[4-b]
[5-a]
[5-b]
[1-b]
[3-a]
[3-b]
[4-a]
[4-b]
[5-a]
[5-b]