Determine a equação da reta tangente à curva f(x)=ln (cos (x)) no ponto onde x=pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, principalmente derivadas, para achar a inclinação da reta tangente e, assim, montar a equação dessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(pi4) = ln(cos(pi4)) , que é a coordenada y no ponto onde queremos a tangente. Calculando:
f(pi4) = ln(raiz22) = ln(2^-12) = -12 ln(2)
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de f(x) = ln(cos(x)) para determinar a inclinação da reta tangente no ponto especificado. A função dada é:
f'(x) = ddx [ln(cos(x))] = 1cos(x) cdot (-sin(x)) = -tan(x)
Vamos usar a regra da cadeia para derivar :

Passo 4

Com a derivada encontrada, avaliamos f'(pi4) = -tan(pi4) para obter a inclinação da reta tangente:
f'(pi4) = -1
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora que temos o ponto y - f(a) = m(x - a) e a inclinação y - (-12 ln(2)) = -1(x - pi4) , podemos usar a fórmula da reta tangente, que é:
y + 12 ln(2) = -x + pi4
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é:
y = -x + pi4 - 12 ln(2)

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