[23] integral-infty^0 zz^4+4 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^0 zz^4+4,dz,
odomínio de integração vai de -infty a 0. O conteúdo principal envolve integrais impróprias, simetrias de função ímpar e mudança de variável para usar uma forma padrão de integral tipo Beta.

Passo 2

Para aproveitar a simetria, fazemos a substituição z=-t. Assim dz=-dt, e quando z=-infty temos t=+infty, enquanto z=0 vira t=0. A integral vira
integral-infty^0 zz^4+4,dz =integralinfty^0 -tt^4+4(-dt) = -integral0^infty tt^4+4,dt
Chamando
I=integral0^infty tt^4+4,dt,
então nossa integral original é -I.

Passo 3

Para calcular I, fazemos a mudança de variável
u=t4^1/4,
logo t=4^1/4u e dt=4^1/4du. Substituindo em I obtemos
$$
I=\int_{0}^{\infty} \frac{4{1/4}u}{(4(u{4}+1))}\cdot 4^{1/4}du
=\frac{4^{1/2}}{4} \int_{0}{\infty}\frac{u}{u{4}+1},du
=\frac12\int_{0}{\infty}\frac{u}{u{4}+1},du.
$$

Passo 4

A integral padrão
integral0^inftyuu^4+1,du
é do tipo
integral0^infty x^p-11+x^n,dx=pinsinl(ppinr),
com p=2 e n=4. Assim
integral0^inftyuu^4+1,du=pi4sin(tfrac2pi4)=pi4,
o que leva a
$$I=\frac12\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}.
$$

Passo 5

Como a integral original vale -I), concluímos
$$\int_{-\infty}^{0} \frac{z}{z^{4}+4},dz=-\frac{\pi}{8}.
$$

Resposta

-\pi/8

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