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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
odomínio de integração vai de
Passo 2
Para aproveitar a simetria, fazemos a substituição
. Assim
, e quando
temos
, enquanto
vira
. A integral vira
Chamando
então nossa integral original é
Passo 3
Para calcular
, fazemos a mudança de variável
logo
$$
I=\int_{0}^{\infty} \frac{4{1/4}u}{(4(u{4}+1))}\cdot 4^{1/4}du
=\frac{4^{1/2}}{4} \int_{0}{\infty}\frac{u}{u{4}+1},du
=\frac12\int_{0}{\infty}\frac{u}{u{4}+1},du.
=\frac{4^{1/2}}{4} \int_{0}{\infty}\frac{u}{u{4}+1},du
=\frac12\int_{0}{\infty}\frac{u}{u{4}+1},du.
$$
Passo 4
A integral padrão
é do tipo
com
e
. Assim
o que leva a
$$I=\frac12\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}.
$$
Passo 5
Como a integral original vale
, concluímos
$$\int_{-\infty}^{0} \frac{z}{z^{4}+4},dz=-\frac{\pi}{8}.
$$
Resposta
-\pi/8