Considere que uma função
possui um ponto crítico em (
). Sabe-se que, nesse ponto, as derivadas parciais de segunda ordem assumem os valores a seguir. Com base nessas informações, classifique o ponto crítico como: máximo local, mínimo local, ponto de sela se não é possível determinar. Justifique sua resposta
-
-
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que foi pedido.
-
Para o primeiro caso foram fornecidos os valores das derivadas segundas em
: -
-
Para o segundo caso foram fornecidos:
-
O que é pedido: classificar o ponto crítico
em cada caso como máximo local, mínimo local, ou ponto de sela, justificando a resposta.
Passo 2
Apresento a ferramenta que vamos usar (teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis) e explico o que cada símbolo significa.
- Definimos o discriminante (determinante da Hessiana) em
por
Aqui:
-
é a derivada parcial de segunda ordem em relação a (curvatura no sentido ); -
é a derivada parcial de segunda ordem em relação a (curvatura no sentido ); -
é a derivada mista. -
Regra de classificação (válida quando
é ponto crítico, isto é, , condição que o enunciado garante): - Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (não é possível determinar só com essas segundas derivadas).
- Se
Intuição rápida:
indica curvaturas com o mesmo sinal (superfície parecida com prato ou cúpula), enquanto
indica curvaturas com sinais opostos (modelo de sela).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao primeiro conjunto de valores.
- Calcular
:
Fazendo as multiplicações e subtração passo a passo:
portanto
- Interpretando:
- Temos
. - E também
.
- Temos
Pelo critério:
e
implicam que
é um máximo local.
Passo 4
Comentário didático sobre o resultado do primeiro caso: quando
a função curva para baixo no sentido
; como
as curvaturas em
e
têm o mesmo sinal (aqui ambas negativas), a vizinhança do ponto parece uma “cúpula” — portanto é máximo local. Isso é análogo ao caso unidimensional onde
indica máximo.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao segundo conjunto de valores.
- Calcular
:
Fazendo as operações:
portanto
- Interpretando:
- Temos
.
- Temos
Pelo critério:
implica que
é um ponto de sela.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
-
Exemplo de máximo local (analogia):
tem , , , então e ⇒ máximo local. -
Exemplo de sela (analogia):
tem , , , então ⇒ sela.
Resposta
Máximo local
Ponto de sela