Considere que uma função f(x, y) possui um ponto crítico em ( x_{0}, y_{0} ). Sabe-se que, nesse ponto, as derivadas parciais de segunda ordem assumem os valores a seguir. Com base nessas informações, classifique o ponto crítico como: máximo local, mínimo local, ponto de sela se não é possível determinar. Justifique sua resposta
  • [\mathbf{0 , 7 5}] f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=-4, f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=-5, f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=1
  • [\mathbf{0 , 7 5}] f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=6, f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=2, f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=4

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que foi pedido.
  • Para o primeiro caso foram fornecidos os valores das derivadas segundas em (x_0,y_0):
    • f_{xx}(x_0,y_0) = -4
    • f_{yy}(x_0,y_0) = -5
    • f_{xy}(x_0,y_0) = 1
  • Para o segundo caso foram fornecidos:
    • f_{xx}(x_0,y_0) = 6
    • f_{yy}(x_0,y_0) = 2
    • f_{xy}(x_0,y_0) = 4
O que é pedido: classificar o ponto crítico (x_0,y_0) em cada caso como máximo local, mínimo local, ou ponto de sela, justificando a resposta.

Passo 2

Apresento a ferramenta que vamos usar (teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis) e explico o que cada símbolo significa.
  • Definimos o discriminante (determinante da Hessiana) em (x_0,y_0) por
D = f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0) - \bigl(f_{xy}(x_0,y_0)\bigr)^2.
Aqui:
  • f_{xx} é a derivada parcial de segunda ordem em relação a x (curvatura no sentido x);
  • f_{yy} é a derivada parcial de segunda ordem em relação a y (curvatura no sentido y);
  • f_{xy} é a derivada mista.
  • Regra de classificação (válida quando (x_0,y_0) é ponto crítico, isto é, \nabla f(x_0,y_0) = (0,0), condição que o enunciado garante):
    • Se D>0 e f_{xx}(x_0,y_0)>0 então (x_0,y_0) é mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}(x_0,y_0)<0 então (x_0,y_0) é máximo local.
    • Se D<0 então (x_0,y_0) é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo (não é possível determinar só com essas segundas derivadas).
Intuição rápida: D>0 indica curvaturas com o mesmo sinal (superfície parecida com prato ou cúpula), enquanto D<0 indica curvaturas com sinais opostos (modelo de sela).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao primeiro conjunto de valores.
  • Calcular D:
D = (-4)\cdot(-5) - (1)^2.
Fazendo as multiplicações e subtração passo a passo:
(-4)\cdot(-5) = 20, \qquad (1)^2 = 1,
portanto
D = 20 - 1 = 19.
  • Interpretando:
    • Temos D = 19 > 0.
    • E também f_{xx}(x_0,y_0) = -4 < 0.
Pelo critério: D>0 e f_{xx}<0 implicam que (x_0,y_0) é um máximo local.

Passo 4

Comentário didático sobre o resultado do primeiro caso: quando f_{xx}<0 a função curva para baixo no sentido x; como D>0 as curvaturas em x e y têm o mesmo sinal (aqui ambas negativas), a vizinhança do ponto parece uma “cúpula” — portanto é máximo local. Isso é análogo ao caso unidimensional onde f''(x_0)<0 indica máximo.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao segundo conjunto de valores.
  • Calcular D:
D = 6\cdot 2 - (4)^2.
Fazendo as operações:
6\cdot 2 = 12, \qquad (4)^2 = 16,
portanto
D = 12 - 16 = -4.
  • Interpretando:
    • Temos D = -4 < 0.
Pelo critério: D<0 implica que (x_0,y_0) é um ponto de sela.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Exemplo de máximo local (analogia): g(x,y) = -x^2 - y^2 tem g_{xx}=-2, g_{yy}=-2, g_{xy}=0, então D=(-2)(-2)-0=4>0 e g_{xx}<0 ⇒ máximo local.
  • Exemplo de sela (analogia): h(x,y)=x^2-y^2 tem h_{xx}=2, h_{yy}=-2, h_{xy}=0, então D=2\cdot(-2)-0=-4<0 ⇒ sela.

Resposta

Máximo local
Ponto de sela

Exercícios relacionados