[1,5] Encontre o valor de a para que a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\tan x}{\operatorname{sen} 2 x} & \text { se } x \neq 0 \\\ \cos a & \text { se } x=0\end{array}\right. seja contínua em $x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases}\dfrac{\tan x}{\operatorname{sen} 2x}, & x\neq 0,\\[6pt] \cos a, & x=0.\end{cases}
A pergunta é: encontrar os valores de a para os quais f é contínua em x=0.
Informações relevantes dadas:
  • Para x\neq 0 a expressão é \dfrac{\tan x}{\operatorname{sen} 2x}.
  • Em x=0 o valor da função é \cos a.
  • Ser contínua em x=0 significa que o limite de f(x) quando x\to 0 deve existir e ser igual a \cos a.]

Passo 2

Recordando a definição prática de continuidade num ponto: f é contínua em x=0 se, e somente se,
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Aqui isso vira a condição
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{\operatorname{sen} 2x}=\cos a.
Portanto nosso objetivo é calcular o limite à esquerda e igualá‑lo a \cos a.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para x\neq 0. Use a identidade trigonométrica
\operatorname{sen} 2x=2\operatorname{sen} x\cos x.
Substituindo na função, para x\neq 0,
\frac{\tan x}{\operatorname{sen} 2x}=\frac{\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}}{2\operatorname{sen} x\cos x}.
Agora simplificamos passo a passo: multiplicando pelo inverso do denominador,
\frac{\tan x}{\operatorname{sen} 2x}=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\cdot\frac{1}{2\operatorname{sen} x\cos x}.
Como x\neq 0 podemos cancelar \operatorname{sen} x (não estamos avaliando exatamente em x=0):
\frac{\tan x}{\operatorname{sen} 2x}=\frac{1}{2\cos^2 x}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando x\to 0. A função \cos x é contínua em 0 e \cos 0=1, logo \cos^2 x\to 1^2=1. Assim
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{\operatorname{sen} 2x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{2\cos^2 x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Pela condição de continuidade temos que esse limite igualar o valor da função em 0, isto é
\cos a=\frac{1}{2}.
Agora resolvemos a equação trigonométrica \cos a=\tfrac{1}{2}. Sabemos que \operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{\pi}{3} e, pela periodicidade e simetria do cosseno, as soluções gerais são
a=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Portanto, para qualquer a da forma dada acima a função f será contínua em x=0. Respire fundo — já era! Você garantiu a continuidade encontrando os a que fazem o valor em 0 coincidir com o limite.

Resposta

a=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}

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