) Integrais de linha. Obtenha os itens abaixo envolvendo integrais de linha:
Seja \mathcal{C}=\wp_{a r a} \cap \wp_{l a n}, onde \wp_{a r a}: y=x{2}+z{2} e \wp_{l a n}: y=3-2 x. Obtenha
Seja \mathcal{C}=\wp_{a r a} \cap \wp_{l a n}, onde \wp_{a r a}: y=x{2}+z{2} e \wp_{l a n}: y=3-2 x. Obtenha
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é a curva dada pela interseção de duas superfícies:
e
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A curva
é o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente e . - Queremos a integral de linha escalar do campo
ao longo de , isto é, integrar em relação ao comprimento de arco da curva fechada.
Passo 2
Primeira ação prática: achar uma equação simples para a curva no plano
.
Igualando as duas expressões para obtemos
Igualando as duas expressões para
Reescrevendo e completando o quadrado em
:
Isto mostra que, na projeção no plano
, a curva é um círculo de raio
centrado em
. Portanto a interseção é uma curva fechada (um círculo) deslocada no espaço, e
é determinado por
(ou equivalentemente por
) ao longo da curva.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva convenientemente usando um parâmetro
que descreve o círculo no plano
. Como
, escolhemos
Agora determinamos
usando a equação do plano
:
Observação rápida: checando com a parábola,
dá o mesmo
, então a parametrização está consistente.
Passo 4
Queremos escrever
em termos de
. As derivadas são
Explicação do porquê de
: usamos
então
.
A definição de diferencial de comprimento é
Substituindo:
Agrupando termos:
Agora observação importante de simplificação: usando
temos
Portanto
Passo 5
Escrever o integrando
em função de
. Como
,
Agora montamos a integral paramétrica:
Como são duas vezes a mesma raiz, o produto simplifica para
Passo 6
Calcular a integral explícita. Usamos que
e que
(porque a média de
num período é
, logo
). Assim