1^{\text {a }} ) Integrais de linha. Obtenha os itens abaixo envolvendo integrais de linha:
Seja \mathcal{C}=\wp_{a r a} \cap \wp_{l a n}, onde \wp_{a r a}: y=x{2}+z{2} e \wp_{l a n}: y=3-2 x. Obtenha
\oint_{\mathcal{C}} \sqrt{1+z^{2}} d s

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{\mathcal{C}} \sqrt{1+z^{2}}\,ds,
onde \mathcal{C} é a curva dada pela interseção de duas superfícies:
\wp_{ara}:\; y=x^{2}+z^{2} e \wp_{lan}:\; y=3-2x.
Informações relevantes dadas:
  • A curva \mathcal{C} é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente \;y=x^{2}+z^{2}\; e \;y=3-2x.
  • Queremos a integral de linha escalar do campo f(x,y,z)=\sqrt{1+z^{2}} ao longo de \mathcal{C}, isto é, integrar f em relação ao comprimento de arco ds da curva fechada.

Passo 2

Primeira ação prática: achar uma equação simples para a curva no plano x\!-\!z.
Igualando as duas expressões para y obtemos
x^{2}+z^{2}=3-2x.
Reescrevendo e completando o quadrado em x:
x^{2}+2x+z^{2}-3=0
(x+1)^{2}+z^{2}-4=0
(x+1)^{2}+z^{2}=4.
Isto mostra que, na projeção no plano x\!-\!z, a curva é um círculo de raio 2 centrado em (-1,0). Portanto a interseção é uma curva fechada (um círculo) deslocada no espaço, e y é determinado por y=3-2x (ou equivalentemente por y=x^{2}+z^{2}) ao longo da curva.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva convenientemente usando um parâmetro t\in[0,2\pi] que descreve o círculo no plano x\!-\!z. Como (x+1)^{2}+z^{2}=4, escolhemos
x(t)=-1+2\cos t,\qquad z(t)=2\sin t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Agora determinamos y(t) usando a equação do plano \;y=3-2x:
y(t)=3-2x(t)=3-2(-1+2\cos t)=5-4\cos t.
Observação rápida: checando com a parábola, x(t)^2+z(t)^2 dá o mesmo y(t), então a parametrização está consistente.

Passo 4

Queremos escrever ds em termos de dt. As derivadas são
x'(t)=-2\sin t,\qquad y'(t)=4\sin t,\qquad z'(t)=2\cos t.
Explicação do porquê de y'(t)=4\sin t: usamos y=3-2x então dy/dt=-2\,dx/dt=-2(-2\sin t)=4\sin t.
A definição de diferencial de comprimento é
ds=\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}\,dt.
Substituindo:
ds=\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(4\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}}\,dt =\sqrt{4\sin^{2}t+16\sin^{2}t+4\cos^{2}t}\,dt.
Agrupando termos:
ds=\sqrt{20\sin^{2}t+4\cos^{2}t}\,dt =2\sqrt{5\sin^{2}t+\cos^{2}t}\,dt.
Agora observação importante de simplificação: usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 temos
5\sin^{2}t+\cos^{2}t=(\sin^{2}t+\cos^{2}t)+4\sin^{2}t=1+4\sin^{2}t.
Portanto
ds=2\sqrt{1+4\sin^{2}t}\,dt.

Passo 5

Escrever o integrando \sqrt{1+z^{2}} em função de t. Como z(t)=2\sin t,
\sqrt{1+z^{2}}=\sqrt{1+(2\sin t)^{2}}=\sqrt{1+4\sin^{2}t}.
Agora montamos a integral paramétrica:
\oint_{\mathcal{C}} \sqrt{1+z^{2}}\,ds=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+z(t)^{2}}\;ds =\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+4\sin^{2}t}\;\cdot 2\sqrt{1+4\sin^{2}t}\,dt.
Como são duas vezes a mesma raiz, o produto simplifica para
\int_{0}^{2\pi} 2\bigl(1+4\sin^{2}t\bigr)\,dt.

Passo 6

Calcular a integral explícita. Usamos que \int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi e que \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt=\pi (porque a média de \sin^{2} num período é 1/2, logo (1/2)\cdot 2\pi=\pi). Assim
\int_{0}^{2\pi} 2\bigl(1+4\sin^{2}t\bigr)\,dt =2\Bigl(\int_{0}^{2\pi}1\,dt +4\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt\Bigr) =2\bigl(2\pi+4\pi\bigr)=2\cdot 6\pi=12\pi.

Resposta

\;12\pi

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