[1,5] Esboce a região delimitada pelas curvas x=1, x+y=6 e y=raizx e expresse a sua área por meio de integrais.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região no plano limitada pelas curvas x=1, y=raizx e x+y=6, e depois expressar a área dessa região por meio de integrais. O conteúdo é geometria de regiões planas e cálculo de área via integração dupla ou única (integrais simples).

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção dessas curvas:
  1. Interseção entre x=1 e y=raizx dá o ponto
(1,raiz1)=(1,1)
  1. Interseção entre x=1 e x+y=6
1+y=6implies y=5,
isto é, o ponto (1,5).
  1. Interseção entre y=raizx e x+y=6. Substituindo y:
raizx=6-x Longrightarrow x=(6-x)^2=36-12x+x^2 Longrightarrow x^2-13x+36=0
As raízes são
x=13pmraiz169-1442=13pm52 ;Rightarrow;x=4 ou 9
No intervalo relevante [1,5] vale x=4, com y=raiz4=2. Logo o ponto é (4,2).

Passo 3

Descrito o contorno, o esboço fica assim (mentalmente ou num papel):
– A reta vertical x=1 une (1,1) a (1,5).
– A parábola y=raizx vai de (1,1) até (4,2).
– A reta x+y=6 (isto é, y=6-x) vai de (1,5) até (4,2).
A região é fechada por esses três arcos.

Passo 4

Para expressar a área como integral em x (tipo I):
em cada xin[1,4], y varia de baixo para cima entre y=raizx e y=6-x.
Portanto
A=integralx=1^4l[(6-x)-raizxr];dx

Passo 5

Como alternativa, podemos usar integral em y (tipo II) e particionar em dois trechos:
  • Para y de 1 a 2, a curva inferior é x=y^2 e a superior é x=6-y.
  • Para y de 2 a 5, a curva à esquerda é x=1 e à direita é x=6-y.
    Então
A =integraly=1^2l[(6-y)-y^2r];dy ;+; integraly=2^5l[(6-y)-1r];dy

Resposta

A=integral1^4l(6-x-raizxr),dx ou A =integral1^2l(6-y-y^2r),dy +integral2^5l(5-yr),dy

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