Esboce a região delimitada pelas curvas
e
e expresse a sua área por meio de integrais.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região no plano limitada pelas curvas
,
e
, e depois expressar a área dessa região por meio de integrais. O conteúdo é geometria de regiões planas e cálculo de área via integração dupla ou única (integrais simples).
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção dessas curvas:
- Interseção entre
e dá o ponto
- Interseção entre
e dá
isto é, o ponto
.
- Interseção entre
e . Substituindo :
As raízes são
No intervalo relevante
vale
, com
. Logo o ponto é
.
Passo 3
Descrito o contorno, o esboço fica assim (mentalmente ou num papel):
– A reta vertical une
a
.
– A parábola vai de
até
.
– A reta (isto é,
) vai de
até
.
A região é fechada por esses três arcos.
– A reta vertical
– A parábola
– A reta
A região é fechada por esses três arcos.
Passo 4
Para expressar a área como integral em
(tipo I):
em cada ,
varia de baixo para cima entre
e
.
Portanto
em cada
Portanto
Passo 5
Como alternativa, podemos usar integral em
(tipo II) e particionar em dois trechos:
- Para
de a , a curva inferior é e a superior é . - Para
de a , a curva à esquerda é e à direita é .
Então