Exercício 12. Resolva a equação de Poisson
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação de Poisson
no disco unitário
, com condição de contorno
em
. Como o domínio e o termo fonte (
) são totalmente simétricos em torno da origem, vamos buscar uma solução que dependa apenas de
.
Passo 2
Assumimos
Em coordenadas polares, a laplaciana de uma função radial satisfaz
Substituindo na equação de Poisson, obtemos
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para reconhecer uma derivada total:
Integramos em
:
Integramos de novo para achar
:
Passo 4
Para
ser finita em
, o termo
deve desaparecer, logo
. Assim
A condição de contorno
em
implica
Passo 5
Substituindo
e
, concluímos