Exercício 12. Resolva a equação de Poisson
l ux x+uy y=-2, em D: x^2+y^2<1 u(x, y)=0 x^2+y^2=1

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação de Poisson
uxx+uyy=-2
no disco unitário D=(x,y)mid x^2+y^2<1, com condição de contorno u=0 em x^2+y^2=1. Como o domínio e o termo fonte ( -2) são totalmente simétricos em torno da origem, vamos buscar uma solução que dependa apenas de r=raizx^2+y^2.

Passo 2

Assumimos
u(x,y)=v(r)
Em coordenadas polares, a laplaciana de uma função radial satisfaz
De<a u = v''(r) + 1rv'(r)
Substituindo na equação de Poisson, obtemos
v''(r) + 1rv'(r) = -2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por r para reconhecer uma derivada total:
r,v''(r)+v'(r) = -2r Longrightarrow l(r,v'(r)r)' = -2r
Integramos em r:
r,v'(r) = integral(-2r),dr = -r^2 + C1 Longrightarrow v'(r) = -r + C1r
Integramos de novo para achar v(r):
v(r) = integrall(-r + tfracC1rr)dr = -r^22 + C1ln r + C2

Passo 4

Para u ser finita em r=0, o termo C1ln r deve desaparecer, logo C1=0. Assim
v(r) = -r^22 + C2
A condição de contorno u=0 em r=1 implica
v(1) = -tfrac12 + C2 = 0 Longrightarrow C2 = tfrac12

Passo 5

Substituindo C2=tfrac12 e r^2=x^2+y^2, concluímos
u(x,y) = v(r) = 1 - r^22 = 1 - x^2 - y^22

Resposta

u(x,y) = 1 - x^2 - y^22

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