Se F(x, y, z)=y^2 i+(2 x y+e^3 z) j+3 y e^3 z k, determine uma função f tal que nabla f=F.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z)=y^2,i + l(2xy + e^3zr),j + 3y,e^3z,k
e pede uma função potencial f(x,y,z) tal que nabla f=F. Para isso, vamos usar integração de derivadas parciais, pois
partial fpartial x=Fx, partial fpartial y=Fy, partial fpartial z=Fz

Passo 2

Começamos por integrar
partial fpartial x=y^2
em relação a x, tratando y,z como constantes. Obtemos
f(x,y,z)=integral y^2,dx = x,y^2 + g(y,z),
onde g(y,z) é uma função “constante” em relação a x.

Passo 3

Agora usamos
partial fpartial y =partialpartial yl(xy^2 + g(y,z)r) =2xy + partial gpartial y,
que deve coincidir com Fy=2xy + e^3z. Logo
partial gpartial y=e^3z
e, integrando em y,
g(y,z)=y,e^3z + h(z),
onde h(z) é função apenas de z.

Passo 4

Por fim, verificamos
partial fpartial z =partialpartial zl(xy^2 + y,e^3z + h(z)r) =3y,e^3z + h'(z),
que deve ser igual a Fz=3y,e^3z. Daí
h'(z)=0
e h(z) é constante. Podemos escolher h(z)=C.

Resposta

f(x,y,z)=x,y^2 + y,e^3z + C,
onde C é constante arbitrária.

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