Encontre o máximo absoluto da função f(x)=x^1x, x>0. Quem é maior? e^pi ou pi^e ?
Resposta: Ponto de máximo absoluto de f é x0=e.

Passo 1

Resumindo: queremos encontrar o máximo absoluto de ,f(x)=x^1/x para x>0 e depois decidir qual é maior, ,e^pi ou ,pi^e. Isso envolve derivada, análise de monotonicidade e comparação de exponenciais.

Passo 2

Para simplificar a derivação, considere o logaritmo natural de f:
ln f(x)=ln xx
Como ln é crescente, pontos críticos de ln f coincidem com os de f.

Passo 3

Calcule a derivada de ln f(x):
ddxl(ln f(x)r) =1xcdot x - ln xcdot1x^2 =1-ln xx^2
Logo,
f'(x)=f(x)cdot1-ln xx^2

Passo 4

Para achar o ponto crítico, resolva f'(x)=0. Como f(x)>0, vale
1-ln x=0 Rightarrow ln x=1 Rightarrow x=e
Analisando o sinal de f'(x), vemos que para 0<x<e temos ln x<1Rightarrow f'>0 (a função cresce) e para x>e temos ln x>1Rightarrow f'<0 (a função decresce). Portanto, há um máximo absoluto em x=e.

Passo 5

O valor do máximo é
f(e)=e^1/e

Passo 6

Para comparar e^pi e pi^e, observe que de x>e resulta x^1/x<e^1/e. Tomando x=pi (com pi>e) obtemos
pi^1/pi<e^1/e
Elevando ambos os lados à potência epi,
l(pi^1/pir)^epi<l(e^1/er)^epi ;Rightarrow; pi^e<e^pi
Logo, e^pi é maior que pi^e.

Resposta

Ponto de máximo absoluto: x0=e.\nComo e^pi>pi^e, concluímos que e^pi é maior.

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