Questão C. (campos de 3-vetores em
(\mathbb{R}^{3}) )
O objetivo desta questão é, assim como nas questões A e B , reinterpretar o que é o divergente de um campo vetorial, tendo em vista a discussão no fim da aula do dia 24 .
Sejam \vec{u}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{v}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} e \vec{w}=c_{1} \vec{\imath}+c_{2} \vec{\jmath}+c_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3}. Podemos então associar \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ao 3-vetor definido por:
\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} é o paralelogramo tridimensional gerado pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}.
Dizemos que \mathfrak{F} é um campo de 3 -vetores em \mathbb{R}^{3} definido em um domínio D \subset \mathbb{R}^{3} se a cada (x, y, z) \in D associa-se um único paralelogramo orientado:
\mathfrak{F}(x, y, z)=f(x, y, z) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde f: D \longrightarrow \mathbb{R} é uma função escalar definida em D. Com a noção de campos de 3-vetores, podemos agora estender o gradiente como um operador \nabla que leva campos de 2 -vetores em campos de 3 -vetores definido da seguinte forma: para \mathcal{F}=P \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+Q \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+R \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} um campo de 2-vetores, definimos um novo campo de 3 -vetores tomando:
\nabla \mathcal{F}(x, y, z)=\nabla P(x, y, z) \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+\nabla Q(x, y, z) \wedge \vec{k} \wedge \vec{\imath}+\nabla R(x, y, z) \wedge \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}
Calcule \nabla \mathcal{F} para os seguintes campos de 2 -vetores: \mathcal{F}=2 x^{2} \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+(2 x-y) \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+z^{2} \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \nabla \mathcal{F} para o campo de 2-vetores dado por
\mathcal{F}=2 x^{2} \cdot \vec{\jmath} \wedge \vec{k}+(2 x-y) \cdot \vec{k} \wedge \vec{\imath}+z^{2} \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}.
Informações relevantes dadas:
  • A decomposição geral usada no enunciado é
\mathcal{F}=P\cdot \vec{\jmath}\wedge\vec{k}+Q\cdot \vec{k}\wedge\vec{\imath}+R\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath},
onde aqui \,P(x,y,z)=2x^{2},\;Q(x,y,z)=2x-y,\;R(x,y,z)=z^{2}.
  • O operador estendido é definido como
\nabla \mathcal{F}=\nabla P\wedge \vec{\jmath}\wedge\vec{k}+\nabla Q\wedge \vec{k}\wedge\vec{\imath}+\nabla R\wedge \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
  • A definição de \vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w} dada no enunciado: para vetores \vec{u}=(a_1,a_2,a_3), \vec{v}=(b_1,b_2,b_3), \vec{w}=(c_1,c_2,c_3),
\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}=\det\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\\ b_1&b_2&b_3\\\ c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Nada mais é pedido além de efetuar essa operação para os P,Q,R dados.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Gradiente de uma função escalar: se f(x,y,z) é escalar, o gradiente \nabla f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f=(\partial_x f,\;\partial_y f,\;\partial_z f).
Isto significa: calcule a derivada de f em relação a x, em relação a y e em relação a z separadamente e coloque essas três em um vetor.
  • Produto \wedge de três vetores: como dado, \vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w} é um múltiplo da base \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}, o múltiplo sendo o determinante das componentes (linhas) desses vetores. Então, para calcular \nabla P\wedge \vec{\jmath}\wedge\vec{k} montamos a matriz com as linhas sendo as componentes de \nabla P, de \vec{\jmath} e de \vec{k} e tiramos o determinante; o resultado multiplicará \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
  • Observação útil (que facilita muito): usando as componentes das bases \vec{\imath}=(1,0,0),\;\vec{\jmath}=(0,1,0),\;\vec{k}=(0,0,1), os determinantes abaixo são imediatos:
    • \det\begin{pmatrix}p_1&p_2&p_3\\\\ 0&1&0\\\\ 0&0&1\end{pmatrix}=p_1.
    • \det\begin{pmatrix}q_1&q_2&q_3\\\\ 0&0&1\\\\ 1&0&0\end{pmatrix}=q_2.
    • \det\begin{pmatrix}r_1&r_2&r_3\\\\ 1&0&0\\\\ 0&1&0\end{pmatrix}=r_3.
      Aqui p_i,q_i,r_i são as componentes de \nabla P,\nabla Q,\nabla R respectivamente. Vou mostrar passo a passo essas contas aplicadas ao caso concreto.

Passo 3

Calculemos as componentes dos gradientes de P,Q,R usando derivadas parciais básicas (explico cada derivada):
  • Para P(x,y,z)=2x^{2}: \partial_x P=\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})=4x,
\partial_y P=\frac{\partial}{\partial y}(2x^{2})=0\quad(\text{pois não depende de }y),ã
\partial_z P=\frac{\partial}{\partial z}(2x^{2})=0\quad(\text{pois não depende de }z).ã
Logo
\nabla P=(4x,\;0,\;0).
  • Para Q(x,y,z)=2x-y: \partial_x Q=\frac{\partial}{\partial x}(2x-y)=2,
\partial_y Q=\frac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1,
\partial_z Q=\frac{\partial}{\partial z}(2x-y)=0.
Logo
\nabla Q=(2,\;-1,\;0).
  • Para R(x,y,z)=z^{2}: \partial_x R=0,\quad \partial_y R=0,\quad \partial_z R=\frac{\partial}{\partial z}(z^{2})=2z,logo \nabla R=(0,\;0,\;2z).

Passo 4

Calcule \nabla P\wedge \vec{\jmath}\wedge\vec{k} usando a regra do determinante:
  • Montamos a matriz com linhas \nabla P=(4x,0,0), \vec{\jmath}=(0,1,0), \vec{k}=(0,0,1): \det\begin{pmatrix}4x&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
  • Esse determinante é simplesmente 4x porque é uma matriz triangular superior com produto dos elementos da diagonal 4x\cdot 1\cdot 1.
  • Portanto \nabla P\wedge \vec{\jmath}\wedge\vec{k}=4x\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.]

Passo 5

Calcule \nabla Q\wedge \vec{k}\wedge\vec{\imath}:
  • Montamos a matriz com linhas \nabla Q=(2,-1,0), \vec{k}=(0,0,1), \vec{\imath}=(1,0,0): \det\begin{pmatrix}2&-1&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix}.
  • Vamos calcular explicitamente: expandindo por cofactor na primeira linha, \det=\;2\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix}\;-\;(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix}\;+\;0\cdot(\cdots).O primeiro menor vale 0. O segundo menor vale (0\cdot0-1\cdot1)=-1. Então \det=0 -(-1)\cdot(-1)= -1.Uma maneira mais direta (usando a observação do Passo 2) é notar que esse determinante resulta na segunda componente de \nabla Q, isto é -1.
  • Portanto \nabla Q\wedge \vec{k}\wedge\vec{\imath}=(-1)\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.]

Passo 6

Calcule \nabla R\wedge \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}:
  • Montamos a matriz com linhas \nabla R=(0,0,2z), \vec{\imath}=(1,0,0), \vec{\jmath}=(0,1,0): \det\begin{pmatrix}0&0&2z\\[4pt]1&0&0\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}.
  • Calculando o determinante (por expansão ou observação do Passo 2), obtemos 2z como o valor do determinante.
  • Assim \nabla R\wedge \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=2z\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.]

Passo 7

Somando as três contribuições conforme a definição:
\nabla \mathcal{F}=(4x)\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}+(-1)\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}+(2z)\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Agrupando os coeficientes:
\nabla \mathcal{F}=(4x-1+2z)\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.

Passo 8

Interpretação e pequena observação didática final: o coeficiente escalar (4x-1+2z) que aparece multiplicando \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} é exatamente a soma \partial_x P+\partial_y Q+\partial_z R, isto é, a divergência do campo vetorial com componentes (P,Q,R). Então este procedimento recupera a noção usual de divergente, mas no contexto de campos de 3-vetores.

Resposta

\nabla \mathcal{F}(x,y,z)=(4x-1+2z)\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}

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