Questão C. (campos de 3-vetores em
(\mathbb{R}^{3}) )
O objetivo desta questão é, assim como nas questões A e B , reinterpretar o que é o divergente de um campo vetorial, tendo em vista a discussão no fim da aula do dia 24 .
Sejam \vec{u}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{v}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} e \vec{w}=c_{1} \vec{\imath}+c_{2} \vec{\jmath}+c_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3}. Podemos então associar \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ao 3-vetor definido por:
Ou seja, \|\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}\| representa o volume em valor absoluto do 3-paralelogramo gerado pelos vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.
Isso responde a primeira parte do problema (cálculo explícito do 3-vetor).
Passo 5
Agora explico o que significa a norma \|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\|. Pela definição acima temos um escalar \det multiplicando o elemento de base \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}. A norma é
Essa é a razão pela qual o módulo do 3-vetor dá o volume absoluto do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.]
Passo 6
Agora mostro a relação com o produto escalar do produto vetorial. Primeiro lembro a fórmula coordenada do produto vetorial: para \vec{u}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{v}=(b_1,b_2,b_3),
O produto escalar \langle \vec{u}\times\vec{v},\,\vec{w}\rangle também vale -12.
A norma do 3-vetor é o módulo do determinante (pois \|\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}\|=1), ou seja \|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\|=12.
Observação conceitual final: em geral, para quaisquer \vec{u},\vec{v},\vec{w} vale a identidade algébrica
o que explica o comentário do enunciado: a norma do 3-vetor representa o volume em valor absoluto do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Geometricamente isso faz sentido porque \|\vec{u}\times\vec{v}\| é a área da base (paralelogramo gerado por \vec{u},\vec{v}) e o produto escalar com \vec{w} projeta \vec{w} na direção normal à base, multiplicando área por altura para dar o volume (com sinal que indica orientação).]