Questão C. (campos de 3-vetores em
(\mathbb{R}^{3}) )
O objetivo desta questão é, assim como nas questões A e B , reinterpretar o que é o divergente de um campo vetorial, tendo em vista a discussão no fim da aula do dia 24 .
Sejam \vec{u}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{v}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} e \vec{w}=c_{1} \vec{\imath}+c_{2} \vec{\jmath}+c_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3}. Podemos então associar \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ao 3-vetor definido por:
\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right) \cdot \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath} \wedge \vec{k} é o paralelogramo tridimensional gerado pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}.
Calcule \vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w} onde: \vec{u}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}, \vec{v}=2 \vec{\imath}-\vec{\jmath}+5 \vec{k}, \vec{w}=-\vec{\imath}+2 \vec{k}
Mostre que:
\|\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}\|=\langle\vec{u} \times \vec{v}, \vec{w}\rangle
Ou seja, \|\vec{u} \wedge \vec{v} \wedge \vec{w}\| representa o volume em valor absoluto do 3-paralelogramo gerado pelos vetores \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u}=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k},\qquad \vec{v}=2\vec{\imath}-\vec{\jmath}+5\vec{k},\qquad \vec{w}=-\vec{\imath}+0\vec{\jmath}+2\vec{k}.
Pede-se:
  1. Calcular \vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}, usando a definição
\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}=\det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3\\[4pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k},
onde as linhas são as componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
  1. Mostrar a relação entre a norma desse 3-vetor e o produto escalar do produto vetorial:
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\| \quad\text{e}\quad \langle \vec{u}\times\vec{v},\,\vec{w}\rangle,
explicando por que essa norma representa o volume absoluto do 3-paralelogramo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.]

Passo 2

Escrevo explicitamente a matriz cujas linhas são as componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Das expressões dadas extraio as coordenadas:
\vec{u}=(1,1,1),\qquad \vec{v}=(2,-1,5),\qquad \vec{w}=(-1,0,2).
Portanto a determinante que multiplica \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k} é
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 5\\[4pt] -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculo o determinante linha por linha (expansão pela primeira linha, que é simples):
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 5\\[4pt] -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 5\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.
Agora calculo cada menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1 & 5\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2 - 5\cdot 0 = -2,
\det\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot 2 - 5\cdot(-1)=4+5=9,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}=2\cdot 0 - (-1)\cdot(-1)=0-1=-1.
Substituindo:
\det = 1\cdot(-2) - 1\cdot 9 + 1\cdot(-1) = -2 - 9 -1 = -12.]

Passo 4

Usando a definição dada no enunciado, escrevo o 3-vetor \vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w} como o determinante calculado vezes a base orientada:
\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w} = -12\cdot \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Isso responde a primeira parte do problema (cálculo explícito do 3-vetor).

Passo 5

Agora explico o que significa a norma \|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\|. Pela definição acima temos um escalar \det multiplicando o elemento de base \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}. A norma é
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\| = \big| \det\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]2&-1&5\\[4pt]-1&0&2\end{pmatrix}\big| \cdot \|\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}\|.
Por convenção geométrica \|\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}\|=1 (a base canônica gera um paralelepípedo de volume unitário). Logo
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\| = |\det| = |-12| = 12.
Essa é a razão pela qual o módulo do 3-vetor dá o volume absoluto do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}.]

Passo 6

Agora mostro a relação com o produto escalar do produto vetorial. Primeiro lembro a fórmula coordenada do produto vetorial: para
\vec{u}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{v}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{u}\times\vec{v} = \big(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\big).
Esta fórmula é a expressão das componentes dadas pelos cofatores da matriz que define o determinante 3\times3.

Passo 7

Aplico essa fórmula aos vetores do problema. Para \vec{u}=(1,1,1) e \vec{v}=(2,-1,5) temos:
primeira componente:
a_2 b_3 - a_3 b_2 = 1\cdot 5 - 1\cdot(-1) = 5+1 = 6,
segunda componente:
a_3 b_1 - a_1 b_3 = 1\cdot 2 - 1\cdot 5 = 2-5 = -3,
terceira componente:
a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1\cdot(-1) - 1\cdot 2 = -1-2 = -3.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v} = (6,-3,-3).

Passo 8

Faço agora o produto escalar \langle \vec{u}\times\vec{v},\,\vec{w}\rangle. Com \vec{w}=(-1,0,2) obtemos
\langle \vec{u}\times\vec{v},\,\vec{w}\rangle = 6\cdot(-1) + (-3)\cdot 0 + (-3)\cdot 2 = -6 + 0 -6 = -12.

Passo 9

Comparando os resultados:
  • O determinante que aparece na definição do 3-vetor vale -12, então
\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w} = -12\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
  • O produto escalar \langle \vec{u}\times\vec{v},\,\vec{w}\rangle também vale -12.
  • A norma do 3-vetor é o módulo do determinante (pois \|\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}\|=1), ou seja \|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\|=12.
Observação conceitual final: em geral, para quaisquer \vec{u},\vec{v},\vec{w} vale a identidade algébrica
\langle \vec{u}\times\vec{v},\,\vec{w}\rangle = \det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3\\[4pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix},
ou seja, o produto escalar do produto vetorial é exatamente o determinante que define \vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}. Daí decorre que
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\| = \big|\langle \vec{u}\times\vec{v},\,\vec{w}\rangle\big|,
o que explica o comentário do enunciado: a norma do 3-vetor representa o volume em valor absoluto do paralelepípedo gerado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Geometricamente isso faz sentido porque \|\vec{u}\times\vec{v}\| é a área da base (paralelogramo gerado por \vec{u},\vec{v}) e o produto escalar com \vec{w} projeta \vec{w} na direção normal à base, multiplicando área por altura para dar o volume (com sinal que indica orientação).]

Resposta

\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}=-12\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}\wedge\vec{k}\n
\|\vec{u}\wedge\vec{v}\wedge\vec{w}\|=12=\big|\langle\vec{u}\times\vec{v},\vec{w}\rangle\big|

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