[1,5 pt.] 4) Calcule a integral
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar sobre a curva
dada por
O conteúdo é integral de linha de função escalar, onde usaremos a fórmula
Passo 2
Vamos achar a expressão de
f(x,y)=(x-y)raizxy em função de
t . Temos
logo
Portanto
Passo 3
Agora calculamos
|vec r,'(t)| . Derivando,
Então
ds = |vec r,'(t)|,dt = raiz2,dt .
Passo 4
A integral vira
Como
cos t>=0 em
[pi/4,pi/2] e
cos t<=0 em
[pi/2,3pi/4] , partimos a integral:
Passo 5
Em cada trecho usamos
integral sen tcos t,dt = tfrac12sen^2 t :
Somando dá
tfrac14+tfrac14=tfrac12 . Multiplicando por
2raiz2 resulta