[1,5 pt.] 4) Calcule a integral
integralC(x-y) raizx y d s
onde C: r(t)=(1+sen t, 1-sen t, raiz2 cos t), t in[pi4, 3 pi4].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar sobre a curva C dada por
vec r(t) = l(x(t),y(t),z(t)r) = l(1+sen t,;1-sen t,;raiz2cos tr), tinl[tfracpi4,;tfrac3pi4r]
O conteúdo é integral de linha de função escalar, onde usaremos a fórmula
integralC f(x,y),ds ;=;integralt0^t1 fl(x(t),y(t)r),l|vec r,'(t)r|;dt

Passo 2

Vamos achar a expressão de f(x,y)=(x-y)raizxy em função de t. Temos
x(t)-y(t) = l(1+sen tr)-l(1-sen tr) = 2sen t,
x(t),y(t) = (1+sen t)(1-sen t) = 1-sen^2 t = cos^2 t,
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raizx(t),y(t) = raizcos^2 t = l|cos tr|
Portanto
fl(x(t),y(t)r) = 2sen t;l|cos tr|

Passo 3

Agora calculamos |vec r,'(t)|. Derivando,
vec r,'(t) = l(cos t,;-cos t,;-raiz2sen tr),
l|vec r,'(t)r| = raizcos^2 t + (-cos t)^2 + (-raiz2sen t)^2 = raiz2cos^2 t + 2sen^2 t = raiz2
Então ds = |vec r,'(t)|,dt = raiz2,dt.

Passo 4

A integral vira
integralC (x-y)raizxy,ds = integralpi/4^3pi/4 l[2sen t,|cos t|r];raiz2;dt =2raiz2integralpi/4^3pi/4sen t,|cos t|;dt
Como cos t>=0 em [pi/4,pi/2] e cos t<=0 em [pi/2,3pi/4], partimos a integral:
2raiz2l[integralpi/4^pi/2sen tcos t,dt +integralpi/2^3pi/4sen t,l(-cos tr),dtr]

Passo 5

Em cada trecho usamos integral sen tcos t,dt = tfrac12sen^2 t:
integralpi/4^pi/2sen tcos t,dt =tfrac12l(sen^2(tfracpi2)-sen^2(tfracpi4)r) =tfrac12l(1-tfrac12r)=tfrac14,
integralpi/2^3pi/4sen t,(-cos t),dt =-tfrac12l(sen^2(tfrac3pi4)-sen^2(tfracpi2)r) =-tfrac12l(tfrac12-1r)=tfrac14
Somando dá tfrac14+tfrac14=tfrac12. Multiplicando por 2raiz2 resulta
2raiz2cdottfrac12 = raiz2

Resposta

raiz2

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