[1,5 pt.] 6) Seja
G(x, y, z)=(z e^1 / v-1x^3 / 2) imath+(1y z^2-x z e^1 / nuy^2) jmath+(x e^1 / nu-2 ln (y)z^3) k
Verifique se G é conservativo, e em quais regiōes. Se for, escolha uma regiāo para calcular um potencial U tal que G=nabla U.

Passo 1

Temos o campo vetorial
e queremos verificar se ele é conservativo (isto é, se existe potencial com ) em alguma região de . Para isso, vamos usar o critério de irrotacionalidade: em qualquer domínio simplesmente conectado onde seja , ele é conservativo se, e somente se,

Passo 2

Escrevemos vec G=(P,Q,R) com
P=z,e^1/nu-x^-tfrac32, Q=tfrac1y,z^2-tfracx,z,e^1/nuy^2, R=x,e^1/nu-tfrac2ln(y)z^3
O rotacional é
nablatimesvec G =l(Ry - Qz,;Pz - Rx,;Qx - Pyr)

Passo 3

Vamos calcular o primeiro componente Ry - Qz:
Ry=partialpartial yl(x,e^1/nur) -partialpartial yl(tfrac2ln(y)z^3r) =0-2y,z^3=-2y,z^3
Qz=partialpartial zl(tfrac1y,z^2r) -partialpartial zl(tfracx,z,e^1/nuy^2r) =-2y,z^3-x,e^1/nuy^2
Logo,
Ry - Qz =-2y,z^3 -l(-2y,z^3-x,e^1/nuy^2r) =x,e^1/nuy^2neq0
em geral.

Passo 4

Como o componente do rotacional não é zero, temos
em qualquer região onde o campo esteja definido ( , , ). Portanto não é conservativo em nenhuma região de .

Resposta

vec G não é conservativo em nenhuma região de definição.

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