[1,5 pt.] 6) Seja
Verifique se
é conservativo, e em quais regiōes. Se for, escolha uma regiāo para calcular um potencial
tal que
.
Passo 1
Temos o campo vetorial
e queremos verificar se ele é conservativo (isto é, se existe potencial
com
) em alguma região de . Para isso, vamos usar o critério de irrotacionalidade: em qualquer domínio simplesmente conectado onde
seja
, ele é conservativo se, e somente se,
Passo 2
Escrevemos
com
O rotacional é
Passo 3
Vamos calcular o primeiro componente
:
Logo,
em geral.
Passo 4
Como o componente
do rotacional não é zero, temos
em qualquer região onde o campo esteja definido (
,
,
). Portanto
não é conservativo em nenhuma região de .