Seja F o campo de forças degnido ggr F(x, y, z)=-4 y i+2 z j+3 x k e suponha que S seja a parte do paraboloide z=10-x^2-y^2 acima do plano z=1. Verifique o teorema de Stokes para esse F e para S. Respi. 36 pi
Resposta esperada da 1: 36pi

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo
F(x,y,z) = -4y,i + 2z,j + 3x,k
e para a superfície S dada pelo pedaço do paraboloide
z = 10 - x^2 - y^2
acima do plano z=1. A curva de contorno partial S é o círculo de interseção
x^2 + y^2 = 9, z=1
Para aplicar Stokes, vamos calcular o rotacional nablatimesF e então o integral de superfície
integral duplaS (nablatimesF)cdot dS, mostrando que é igual ao integral de linha em partial S.

Passo 2

Calcular o rotacional de F via determinante:
nabla times F = i & j & k partialx & partialy & partialz -4y & 2z & 3x = -2,i ;-;3,j;+;4,k

Passo 3

Parametrizamos S como gráfico z=10-x^2-y^2 sobre o disco D: x^2+y^2<=9. O vetor normal orientado para cima vem de
dS = (-partialx z,,-partialy z,,1),dx,dy = (2x,,2y,,1),dx,dy

Passo 4

O produto escalar é
(nablatimesF)cdot dS = (-2,-3,4)cdot(2x,2y,1),dx,dy = (-4x -6y +4),dx,dy
Ao integrar sobre o disco D, os termos em x e em y anular-se-ão por simetria, restando
integral duplaD4,dx,dy =4cdotl(picdot3^2r) =36pi

Passo 5

Como o integral de superfície de nablatimesF sobre S deu 36pi, e o Teorema de Stokes garante que isto coincide com o integral de linha de F em partial S, concluímos que a verificação está completa.

Resposta

36pi

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