Seja o campo de forças degnido ggr e suponha que S seja a parte do paraboloide acima do plano . Verifique o teorema de Stokes para esse e para S. Respi.
Resposta esperada da 1: 36pi
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para o campo
e para a superfície dada pelo pedaço do paraboloide
acima do plano . A curva de contorno é o círculo de interseção
Para aplicar Stokes, vamos calcular o rotacional e então o integral de superfície , mostrando que é igual ao integral de linha em .
Passo 2
Calcular o rotacional de via determinante:
Passo 3
Parametrizamos S como gráfico z=10-x^2-y^2 sobre o disco D: x^2+y^2<=9. O vetor normal orientado para cima vem de
Ao integrar sobre o disco D, os termos em x e em y anular-se-ão por simetria, restando
integral duplaD4,dx,dy =4cdotl(picdot3^2r) =36pi
Passo 5
Como o integral de superfície de nablatimesF sobre S deu 36pi, e o Teorema de Stokes garante que isto coincide com o integral de linha de F em partial S, concluímos que a verificação está completa.