[2,0 pts.] f) Parametrize a curva C definida por
C:l z+2 x^2+y^2=3 2 y+z=2
e esboce duas de suas projeçōes nos planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva
ou seja, uma curva de nível de uma quádrica e de um plano. Vamos usar geometria analítica para achar uma equação de elipse no plano . Em seguida esboçaremos duas projeções: no plano e no plano .

Passo 2

Da segunda equação isolamos z:
z = 2 - 2y
Substituímos esse z na primeira equação:
(2 - 2y) + 2x^2 + y^2 = 3

Passo 3

Simplificando:
2x^2 + y^2 -2y + 2 = 3 ;Longrightarrow; 2x^2 + y^2 -2y -1 = 0
Completemos o quadrado em y:
y^2 -2y = (y-1)^2 -1,
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2x^2 + (, (y-1)^2 -1 , ) -1 = 0 ;Longrightarrow; 2x^2 + (y-1)^2 = 2
Dividindo por 2:
x^21 + (y-1)^22 = 1,
que é a equação de uma elipse centrada em (0,1) com semi-eixos a=1 (direção x) e b=raiz2 (direção y).

Passo 4

Uma parametrização natural dessa elipse é
x = cos t, y = 1 + raiz2,sin t, tin [0,2pi]
Usando z = 2 - 2y segue
z = 2 - 2l(1 + raiz2sin tr) = -2raiz2,sin t
Portanto uma parametrização de C é
r(t) = l(cos t,;1+raiz2sin t,;-2raiz2sin tr), tin[0,2pi]

Passo 5

Projeção no plano xy. Basta ignorar z em r(t), obtendo a elipse
x^21 + (y-1)^22 = 1
Esboço: centro em (0,1), semieixo horizontal de comprimento 1 e semieixo vertical de comprimento raiz2.

Passo 6

Projeção no plano xz. Eliminamos y e usamos x=cos t, z=-2raiz2sin t. Tem-se
x^21 + z^28 = 1,
outra elipse centrada em (0,0) no plano xz, com semieixos 1 (eixo x) e 2raiz2 (eixo z).

Resposta

Parametrização:
r(t) = l(cos t,;1+raiz2sin t,;-2raiz2sin tr), tin[0,2pi]
Duas projeções esboçadas:
  1. Plano xy: elipse x^21+(y-1)^22=1.
  2. Plano xz: elipse x^21+z^28=1.

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