[2,0 pts.] f) Parametrize a curva
definida por
e esboce duas de suas projeçōes nos planos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar a curva
ou seja, uma curva de nível de uma quádrica e de um plano. Vamos usar geometria analítica para achar uma equação de elipse no plano . Em seguida esboçaremos duas projeções: no plano
e no plano
.
Passo 2
Da segunda equação isolamos
z :
Substituímos esse
z na primeira equação:
Passo 3
Simplificando:
Completemos o quadrado em
y :
logo
Dividindo por 2:
que é a equação de uma elipse centrada em
(0,1) com semi-eixos
a=1 (direção
x ) e
b=raiz2 (direção
y ).
Passo 4
Uma parametrização natural dessa elipse é
Usando
z = 2 - 2y segue
Portanto uma parametrização de
C é
Passo 5
Projeção no plano
xy . Basta ignorar
z em
r(t) , obtendo a elipse
Esboço: centro em
(0,1) , semieixo horizontal de comprimento
1 e semieixo vertical de comprimento
raiz2 .
Passo 6
Projeção no plano
xz . Eliminamos
y e usamos
x=cos t ,
z=-2raiz2sin t . Tem-se
outra elipse centrada em
(0,0) no plano
xz , com semieixos
1 (eixo
x ) e
2raiz2 (eixo
z ).
Resposta
Parametrização:
Duas projeções esboçadas:
-
Plano
: elipsexy .x^21+(y-1)^22=1 -
Plano
: elipsexz .x^21+z^28=1