1. (a) [1,5 pt] Calcule lim x 1(1-x^3) cos (pix-1).

(continua na próxima página)

(b) [1,0 pt] Decida se existe uma constante a tal que a função
g(x)= (1-x^3) cos (pix-1), & x<1 a, & x=1, 1+x^3, & x>1
seja contínua. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) calcular
ser contínua em (x=1].
Os conteúdos envolvidos são limites (teorema do confronto) e definição de continuidade em ponto (iguais limites laterais e valor da função).

Passo 2

Para o limite de f(x)=(1 - x^3)cosl(tfracpix-1r) quando xto1, note que
l|,(1 - x^3)cosl(tfracpix-1r)r| <= |1 - x^3|cdot 1 = |1 - x^3|
Como limxto1(1 - x^3)=0, pelo teorema do confronto segue
limxto1(1 - x^3)cosl(tfracpix-1r) = 0

Passo 3

Para a continuidade de g em x=1 precisamos que
limxto1^-g(x)=limxto1^+g(x)=g(1)=a.
– Pela parte de x<1 já vimos limxto1^-g(x)=0.
– Para x>1, g(x)=1+x^3 é contínua, logo
limxto1^+g(x)=1+1^3=2
Como 0neq2, não há escolha de a que iguale ambos os limites.

Resposta

(a) 0
(b) Não existe constante a que torne g contínua em x=1.

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