Exercício 3. - vale 3 pontos. Dê a definição de majorante, minorante, supremo e ínfimo de um conjunto de números reais.
Em seguida, determine supremo e ínfimo do conjunto
A=12 n: n in N, n >= 1

Passo 1

O enunciado pede primeiro as definições de majorante, minorante, supremo e ínfimo de um conjunto AsubsetR. Em seguida, queremos determinar sup A e inf A para o conjunto
A = 12n : ninN,,n>=1
O conteúdo aqui é análise real básica de ordenação em R.

Passo 2

Definição de majorante. Dizemos que binR é uma majorante de A se, para todo xin A, tivermos
x <= b
Em outras palavras, b é um upper bound de A.

Passo 3

Definição de minorante. Dizemos que minR é uma minorante de A se, para todo xin A, tivermos
m <= x
Ou seja, m é um lower bound de A.

Passo 4

Definição de supremo. O supremo de A, denotado por sup A, é o menor de todos os majorantes de A. Formalmente, s=sup A se
  1. s é majorante de A;
  2. para qualquer majorante b de A temos s <= b.

Passo 5

Definição de ínfimo. O ínfimo de A, denotado por inf A, é o maior de todos os minorantes de A. Ou seja, i=inf A se
  1. i é minorante de A;
  2. para qualquer minorante m de A temos m <= i.

Passo 6

Aplicando ao conjunto
A = 12n : ninN,,n>=1
Para todo n>=1 vale
12n <= 12,
logo tfrac12 é majorante de A. Se existisse uma majorante b<tfrac12, então b<tfrac12=1/(2cdot1)in A, contradizendo a definição de majorante. Portanto
sup A = 12
Por outro lado, para todo n>=1 temos
0 <= 12n,
então 0 é minorante de A. Se houvesse uma minorante d>0, bastaria escolher n>tfrac12d para que tfrac12n<d, novamente uma contradição. Assim
inf A = 0

Resposta

sup A = tfrac12
inf A = 0

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