Exercício 3. - vale 3 pontos. Dê a definição de majorante, minorante, supremo e ínfimo de um conjunto de números reais.
Em seguida, determine supremo e ínfimo do conjunto
Passo 1
O enunciado pede primeiro as definições de majorante, minorante, supremo e ínfimo de um conjunto
. Em seguida, queremos determinar
e
para o conjunto
O conteúdo aqui é análise real básica de ordenação em
.
Passo 2
Definição de majorante. Dizemos que
é uma majorante de
se, para todo
, tivermos
Em outras palavras,
é um upper bound de
.
Passo 3
Definição de minorante. Dizemos que
é uma minorante de
se, para todo
, tivermos
Ou seja,
é um lower bound de
.
Passo 4
Definição de supremo. O supremo de
, denotado por
, é o menor de todos os majorantes de
. Formalmente,
se
-
é majorante de ; - para qualquer majorante
de temos .
Passo 5
Definição de ínfimo. O ínfimo de
, denotado por
, é o maior de todos os minorantes de
. Ou seja,
se
-
é minorante de ; - para qualquer minorante
de temos .
Passo 6
Aplicando ao conjunto
Para todo
vale
logo
é majorante de
. Se existisse uma majorante
, então
, contradizendo a definição de majorante. Portanto
Por outro lado, para todo
temos
então
é minorante de
. Se houvesse uma minorante
, bastaria escolher
para que
, novamente uma contradição. Assim