[1 ^circ / 2 0 0 4] Suponha que, para a fabricação de CD’s, deve-se produzir disco plástico de raio r0 cm e área igual a A(r0)=pi r0^2 cm^2. No entanto, devido ao processo de fabricação, o disco produzido tem raio r=r0+h cm e área A(r)=pi(r0+h)^2 cm^2, em que |r-r0|=|h| é o erro no raio do disco. Como a qualidade de gravação do CD depende da precisão da área do disco, o erro |h| deve ser pequeno para minimizar os erros de gravação. Suponha que o erro |h| seja sempre menor que 1 cm , e portanto |h|^2 <=|h|.
a) Determine constantes a e b tais que A(r0+h)-A(r0)=a h+b h^2.

Resposta:

square
b) Usando que |h| é sempre menor do que 1 , determine uma constante K>0 tal que |A(r0+h)-A(r0)| <= K|h|.

Resposta:

square
c) Obtenha de<a>0 com a propriedade de que, se o erro no raio for inferior a de<a, então o correspondente erro na área será inferior a 1 cm^2.

Resposta:

square
d) Dado uma margem de tolerância epsilon>0, determine uma margem de segurança de<a>0 tal que, se 0<|h|<de<a, então |A(r0+h)-A(r0)|<epsilon.
Resposta: square

Passo 1

O enunciado trata da área de um disco de raio nominal r0 dada por
A(r0)=pi r0^2,
mas, por erro de fabricação, o raio fica r=r0+h com |h|<1. Precisamos:
– (a) expandir A(r0+h)-A(r0) em termos de h,
– (b) majorar esse erro em função de |h|,
– (c) achar de<a para que o erro em área seja <1,
– (d) achar de<a em termos de uma tolerância arbitrária epsilon.

Passo 2

Calculamos a expansão de
A(r0+h)=pil(r0+hr)^2 =pil(r0^2+2r0h+h^2r)
Logo
A(r0+h)-A(r0) =2pi r0,h+pi,h^2
Isso mostra que podemos tomar
a=2pi r0, b=pi

Passo 3

Para majorar l|A(r0+h)-A(r0)r| note que, por |h|<1, temos |h|^2<=|h|. Então
l|2pi r0h+pi h^2r| <=2pi r0|h|+pi|h|^2 <=l(2pi r0+pir)|h| =pi,(2r0+1),|h|
Basta, portanto, escolher
K=pi,(2r0+1)
para garantir
l|A(r0+h)-A(r0)r|<= K,|h|

Passo 4

Queremos l|A(r0+h)-A(r0)r|<1. Usando o item anterior, basta
K,|h|<1 Longrightarrow |h|<1K =1pi,(2r0+1)
Logo podemos tomar
de<a=1pi,(2r0+1)

Passo 5

Para uma margem epsilon>0 qualquer, repetimos o mesmo raciocínio: queremos
K,|h|<epsilon Longrightarrow |h|<epsilonK =epsilonpi,(2r0+1)
Como precisamos também de |h|<1 para usar |h|^2<=|h|, escolhemos
de<a =minl1,;epsilonpi,(2r0+1)r

Resposta

a) a=2pi r0, b=pi.
b) K=pi,(2r0+1).
c) de<a=dfrac1pi,(2r0+1).
d) de<a=minl1,;epsilonpi,(2r0+1)r

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