Suponha que, para a fabricação de CD’s, deve-se produzir disco plástico de raio e área igual a . No entanto, devido ao processo de fabricação, o disco produzido tem raio e área , em que é o erro no raio do disco. Como a qualidade de gravação do CD depende da precisão da área do disco, o erro deve ser pequeno para minimizar os erros de gravação. Suponha que o erro seja sempre menor que 1 cm , e portanto .
a) Determine constantes e tais que .
Resposta:
b) Usando que é sempre menor do que 1 , determine uma constante tal que .
Resposta:
c) Obtenha com a propriedade de que, se o erro no raio for inferior a , então o correspondente erro na área será inferior a .
Resposta:
d) Dado uma margem de tolerância , determine uma margem de segurança tal que, se , então .
Resposta:
Passo 1
O enunciado trata da área de um disco de raio nominal dada por
mas, por erro de fabricação, o raio fica com . Precisamos:
– (a) expandir em termos de ,
– (b) majorar esse erro em função de ,
– (c) achar para que o erro em área seja ,
– (d) achar em termos de uma tolerância arbitrária .
Passo 2
Calculamos a expansão de
Logo
Isso mostra que podemos tomar
Passo 3
Para majorar note que, por |h|<1, temos |h|^2<=|h|. Então