Calcule as derivadas parciais partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2, e partial^2 zpartial y partial x.
z=log (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z = logl(x^2 + y^2r),
ou seja, vamos usar a regra da cadeia para a função logarítmica em uma soma de quadrados. Precisamos calcular partial z/partial x, partial z/partial y e depois as segundas derivadas partial^2 z/partial x^2, partial^2 z/partial y^2 e a mista partial^2 z/(partial y,partial x).

Passo 2

Para a derivada em relação a x note que z = ln(u) com u = x^2 + y^2. Assim
partial zpartial x = 1u,partial upartial x = 1x^2+y^2cdot 2x = 2xx^2+y^2
Analogamente, em relação a y temos
partial zpartial y = 1x^2+y^2,partial (x^2+y^2)partial y = 2yx^2+y^2

Passo 3

Para partial^2 zpartial x^2 derivamos 2xx^2+y^2 em relação a x, usando a regra do quociente:
partial^2 zpartial x^2 = 2(x^2+y^2) - 2xcdot (2x)(x^2+y^2)^2 = 2x^2 + 2y^2 - 4x^2(x^2+y^2)^2 = 2(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 4

Para partial^2 zpartial y^2 procedemos de forma análoga, derivando 2yx^2+y^2 em relação a y:
partial^2 zpartial y^2 = 2(x^2+y^2) - 2ycdot(2y)(x^2+y^2)^2 = 2x^2 + 2y^2 - 4y^2(x^2+y^2)^2 = 2(x^2 - y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 5

Para a derivada mista partial^2 zpartial y,partial x derivamos partial zpartial x=2xx^2+y^2 em relação a y:
partial^2 zpartial y,partial x = partialpartial y!l(2xx^2+y^2r) = 2x cdot l(-1r),(x^2+y^2)^-2cdot 2y = -4xy(x^2+y^2)^2

Resposta

partial zpartial x = 2xx^2+y^2
partial zpartial y = 2yx^2+y^2
partial^2 zpartial x^2 = 2(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2
partial^2 zpartial y^2 = 2(x^2 - y^2)(x^2+y^2)^2
partial^2 zpartial y,partial x = -4xy(x^2+y^2)^2

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