Calcule as derivadas parciais partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2, e partial^2 zpartial y partial x.
z=arctan (yx)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z = arctanl(tfracyxr)
em relação a x e y, até segunda ordem. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções compostas e a diferenciação de uma fração.

Passo 2

Primeiro calculamos partial zpartial x e partial zpartial y. Note que, se definirmos u = tfracyx, então z = arctan(u) e
dzdu = 11+u^2
Além disso
partial upartial x = partialpartial xl(tfracyxr) = -yx^2, partial upartial y = 1x
Pela regra da cadeia:
partial zpartial x = dzdu,partial upartial x = 11+(y/x)^2l(-tfracyx^2r) = -yx^2+y^2,
partial zpartial y = dzdu,partial upartial y = 11+(y/x)^2,1x = xx^2+y^2

Passo 3

Agora partial^2 zpartial x^2 é a derivada de partial zpartial x = -tfracyx^2+y^2 em relação a x, tratando y como constante. Usamos a regra do quociente ou potência negativa:
partial^2 zpartial x^2 = -ycdotddxl(x^2+y^2r)^-1 = -ycdotl(-1r)l(x^2+y^2r)^-2cdot2x = 2xyl(x^2+y^2r)^2

Passo 4

Para partial^2 zpartial y^2 derivamos partial zpartial y = tfracxx^2+y^2 em relação a y, com x constante:
partial^2 zpartial y^2 = xcdotddyl(x^2+y^2r)^-1 = xcdotl(-1r)l(x^2+y^2r)^-2cdot2y = -2xyl(x^2+y^2r)^2

Passo 5

Finalmente partial^2 zpartial ypartial x é a derivada de partial zpartial x = -tfracyx^2+y^2 em relação a y:
partial^2 zpartial ypartial x = -partialpartial yl(y,(x^2+y^2)^-1r) = -l[(x^2+y^2)^-1 + ycdot(-1)(x^2+y^2)^-2cdot2yr]
= -1x^2+y^2 + 2y^2(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2

Resposta

partial zpartial x = -yx^2+y^2, partial zpartial y = xx^2+y^2,
partial^2 zpartial x^2 = 2xy(x^2+y^2)^2, partial^2 zpartial y^2 = -2xy(x^2+y^2)^2,
partial^2 zpartial ypartial x = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2

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