Exercício 1.3.1. Descreva e esboce as curvas de nível de cada função para os valores dados de c.
f(x, y)=raiz25-x^2-y^2, c=0,1,2,3,4,5

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível da função
f(x,y) = raiz25 - x^2 - y^2
para os valores de c = 0,1,2,3,4,5. O conteúdo aqui é “curva de nível” ou “nível de contorno”, onde para cada c resolvemos
f(x,y) = c
e obtemos uma relação entre x e y que define uma curva.

Passo 2

Para um valor fixo de c>=0, impomos
raiz25 - x^2 - y^2 = c
Elevando ao quadrado, ficam
25 - x^2 - y^2 = c^2 Longrightarrow x^2 + y^2 = 25 - c^2
Note que esta equação só existe quando 25 - c^2>=0, ou seja c<=5, compatível com os valores fornecidos.

Passo 3

Da fórmula
x^2 + y^2 = 25 - c^2
vemos que cada curva de nível é uma circunferência centrada em (0,0) de raio
r(c) = raiz25 - c^2

Passo 4

Agora basta calcular o raio para cada c:
c=0:;r=raiz25-0^2=5
c=1:;r=raiz25-1^2=raiz24=2raiz6
c=2:;r=raiz25-2^2=raiz21
c=3:;r=raiz25-3^2=4
c=4:;r=raiz25-4^2=3
c=5:;r=raiz25-5^2=0

Passo 5

Geometricamente, são circunferências concêntricas de raios decrescentes, partindo da maior (raio 5) em c=0 até o ponto (0,0) para c=5. No plano xy, o esboço mostra círculos de raios conforme calculado, todos com centro na origem.

Resposta

Para cada c=0,1,2,3,4,5, a curva de nível é
x^2 + y^2 = 25 - c^2,
ou seja:
c=0: x^2+y^2=25
c=1: x^2+y^2=24
c=2: x^2+y^2=21
c=3: x^2+y^2=16
c=4: x^2+y^2=9
c=5: x^2+y^2=0.

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