[1,5 pt.] 3)
Duas superfícies são ditas ortogonais se, nos pontos de interseção, seus vetores normais são ortogonais. Mostre que o hiperbolóide
é ortogonal ao elipsóide
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o hiperbolóide
é ortogonal ao elipsóide
O conteúdo aqui é uso de derivadas parciais para obter vetores normais (gradientes) e, em seguida, verificar que esses vetores são ortogonais nos pontos de interseção.
Passo 2
Duas superfícies dadas por
e
são ortogonais se, em cada ponto de interseção, seus normais satisfazem
Passo 3
Definimos
Os vetores normais são os gradientes:
Passo 4
Calculamos o produto escalar:
Nos pontos de interseção temos simultaneamente
Igualando as duas expressões de
vem
Substituindo em
:
Passo 5
Como
em cada ponto de interseção, segue que os vetores normais são ortogonais, logo as superfícies são ortogonais.
Resposta
As superfícies são ortogonais, pois em todo ponto de interseção
.