[1,5 pt.] 3) ^7 Duas superfícies são ditas ortogonais se, nos pontos de interseção, seus vetores normais são ortogonais. Mostre que o hiperbolóide z^2-x^2-y^2=1 é ortogonal ao elipsóide 3 x^2+3 y^2+z^2=3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o hiperbolóide
z^2-x^2-y^2=1
é ortogonal ao elipsóide
3x^2+3y^2+z^2=3
O conteúdo aqui é uso de derivadas parciais para obter vetores normais (gradientes) e, em seguida, verificar que esses vetores são ortogonais nos pontos de interseção.

Passo 2

Duas superfícies dadas por ,F(x,y,z)=0 e ,G(x,y,z)=0 são ortogonais se, em cada ponto de interseção, seus normais satisfazem
nabla Fcdotnabla G = 0

Passo 3

Definimos
F(x,y,z)=z^2-x^2-y^2-1, G(x,y,z)=3x^2+3y^2+z^2-3
Os vetores normais são os gradientes:
nabla F(x,y,z)=l(-2x,,-2y,,2zr), nabla G(x,y,z)=l(6x,,6y,,2zr)

Passo 4

Calculamos o produto escalar:
nabla Fcdotnabla G =-2xcdot6x;+;-2ycdot6y;+;2zcdot2z =-12(x^2+y^2)+4z^2
Nos pontos de interseção temos simultaneamente
z^2=1+x^2+y^2, z^2=3-3(x^2+y^2)
Igualando as duas expressões de z^2 vem
1+x^2+y^2=3-3(x^2+y^2) ;Longrightarrow;x^2+y^2=tfrac12, z^2=1+tfrac12=tfrac32
Substituindo em nabla Fcdotnabla G:
nabla Fcdotnabla G =-12cdottfrac12+4cdottfrac32 =-6+6 =0

Passo 5

Como nabla Fcdotnabla G=0 em cada ponto de interseção, segue que os vetores normais são ortogonais, logo as superfícies são ortogonais.

Resposta

As superfícies são ortogonais, pois em todo ponto de interseção nabla Fcdotnabla G=0.

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