(1,0) Calcule a derivada da função dada implicitamente pela equação y^2+y raizx=2+x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y em função de x quando estes satisfazem implicitamente
y^2 + yraizx = 2 + x
O conteúdo principal é diferenciação implícita, usando a regra da cadeia para y(x), a regra do produto para yraizx e a derivada de raizx=x^1/2.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Para o termo y^2 aplicamos a cadeia e para yraizx usamos a regra do produto:
ddx(y^2) = 2y,y',
ddxl(yraizxr) = y'raizx + ycdot12raizx,
e o lado direito ddx(2+x)=1. Logo,
2y,y' + l(y'raizx + tfracy2raizxr) = 1

Passo 3

Agrupamos os termos que contêm y':
y'l(2y + raizxr) + y2raizx = 1

Passo 4

Isolamos y':
y'l(2y + raizxr) = 1 - y2raizx,
y' = 1 - dfracy2raizx2y + raizx

Resposta

y' = 1 - dfracy2raizx2y + raizx

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