[1.] Para a EDO,
\left(2 y^{2}-6 x y\right) d x+\left(3 x y-4 x^{2}\right) d y=0
determinar as constantes m e n que tornam a função I(x, y)=x^{m} y^{n} um fator integrante da EDO.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A equação diferencial é dada por
\left(2 y^{2}-6 x y\right) d x+\left(3 x y-4 x^{2}\right) d y=0.
  • Posso identificar as funções multiplicadoras de dx e dy:
M(x,y)=2 y^{2}-6 x y,\qquad N(x,y)=3 x y-4 x^{2}.
  • O enunciado pede: determinar constantes m e n tais que a função
I(x,y)=x^{m} y^{n}
seja um fator integrante da EDO, ou seja, multiplicando ambos os termos por I(x,y) a equação torne-se exata.

Passo 2

Lembrete didático: o que é uma equação exata e como usar um fator integrante do tipo x^{m}y^{n}.
  • Definição: uma equação diferencial de forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
num domínio apropriado.
  • Se a equação não for exata, podemos procurar um fator integrante \mu(x,y) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 seja exata. Aqui estamos procurando um fator integrante do tipo
\mu(x,y)=x^{m}y^{n}.
  • Portanto a condição necessária e suficiente para \mu transformar a equação em exata é
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big).

Passo 3

Calcular explicitamente \mu M e \mu N com \mu(x,y)=x^{m}y^{n}, e suas derivadas parciais.
  • Primeiro, escrevo \mu M e \mu N:
\mu M = x^{m}y^{n}\big(2y^{2}-6xy\big)=2x^{m}y^{n+2}-6x^{m+1}y^{n+1},
\mu N = x^{m}y^{n}\big(3xy-4x^{2}\big)=3x^{m+1}y^{n+1}-4x^{m+2}y^{n}.
  • Agora calculo a derivada parcial de \mu M em relação a y. Uso a regra da potência: \dfrac{d}{dy}y^{k}=k y^{k-1}.
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big) =2x^{m}(n+2)y^{n+1}-6x^{m+1}(n+1)y^{n}.
  • Em seguida calculo a derivada parcial de \mu N em relação a x. Uso a regra da potência para x.
\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big) =3(m+1)x^{m}y^{n+1}-4(m+2)x^{m+1}y^{n}.

Passo 4

Impor a condição de exatidão \dfrac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\dfrac{\partial}{\partial x}(\mu N) e comparar termos semelhantes.
A igualdade exige que os coeficientes dos monômios x^{m}y^{n+1} coincidam e que os coeficientes dos monômios x^{m+1}y^{n} coincidam. Assim obtém-se o sistema de equações para m e n:
  • Igualando coeficientes de x^{m}y^{n+1}:
2(n+2)=3(m+1).
  • Igualando coeficientes de x^{m+1}y^{n}:
-6(n+1)=-4(m+2).
Simplifico cada uma:
Da primeira:
2n+4=3m+3 \quad\Rightarrow\quad 2n-3m=-1.
Da segunda:
6(n+1)=4(m+2) \quad\Rightarrow\quad 6n+6=4m+8 \quad\Rightarrow\quad 3n-2m=1.
Portanto o sistema linear é
\begin{cases} 2n-3m=-1,\\[4pt] 3n-2m=1. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema linear para [m) e n, passo a passo.
  • Multiplico a primeira equação por 3 e a segunda por 2 para eliminar n subtraindo:
\begin{cases} 6n-9m=-3,\\[4pt] 6n-4m=2. \end{cases}
  • Subtraindo a segunda da primeira:
(6n-9m)-(6n-4m)=-3-2 \quad\Rightarrow\quad -5m=-5 \quad\Rightarrow\quad m=1.
  • Substituo m=1\] em uma das equações (uso \(3n-2m=1):
3n-2\cdot 1=1 \quad\Rightarrow\quad 3n=3 \quad\Rightarrow\quad n=1.
Assim m=1 e n=1.]

Passo 6

Verificação rápida (confirmação didática).
  • Com m=1 e n=1, \mu=x^{1}y^{1}=xy.
  • Calculo das derivadas parciais com esses valores:
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=2(1+2)x^{1}y^{2}-6(1+1)x^{2}y^{1}=6xy^{2}-12x^{2}y,
\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big)=3(1+1)x^{1}y^{2}-4(1+2)x^{2}y^{1}=6xy^{2}-12x^{2}y.
  • Como as duas expressões coincidem, a equação multiplicada por \mu=xy é de fato exata. Confirmação concluída.

Resposta

m=1,\\ n=1

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