[1.] Para a EDO,
determinar as constantes
e
que tornam a função
um fator integrante da EDO.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A equação diferencial é dada por
- Posso identificar as funções multiplicadoras de
e :
- O enunciado pede: determinar constantes
e tais que a função
seja um fator integrante da EDO, ou seja, multiplicando ambos os termos por
a equação torne-se exata.
Passo 2
Lembrete didático: o que é uma equação exata e como usar um fator integrante do tipo
.
- Definição: uma equação diferencial de forma
é exata se e somente se
num domínio apropriado.
- Se a equação não for exata, podemos procurar um fator integrante
tal que seja exata. Aqui estamos procurando um fator integrante do tipo
- Portanto a condição necessária e suficiente para
transformar a equação em exata é
Passo 3
Calcular explicitamente
e
com
, e suas derivadas parciais.
- Primeiro, escrevo
e :
- Agora calculo a derivada parcial de
em relação a . Uso a regra da potência: .
- Em seguida calculo a derivada parcial de
em relação a . Uso a regra da potência para .
Passo 4
Impor a condição de exatidão
e comparar termos semelhantes.
A igualdade exige que os coeficientes dos monômios
coincidam e que os coeficientes dos monômios
coincidam. Assim obtém-se o sistema de equações para
e
:
- Igualando coeficientes de
:
- Igualando coeficientes de
:
Simplifico cada uma:
Da primeira:
Da segunda:
Portanto o sistema linear é
Passo 5
Resolver o sistema linear para [m) e
, passo a passo.
- Multiplico a primeira equação por
e a segunda por para eliminar subtraindo:
- Subtraindo a segunda da primeira:
- Substituo ):
Assim
e
.]
Passo 6
Verificação rápida (confirmação didática).
- Com
e , . - Calculo das derivadas parciais com esses valores:
- Como as duas expressões coincidem, a equação multiplicada por
é de fato exata. Confirmação concluída.