[1.] Encontre a solução geral da EDO não linear
\left(y+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) d x+\left(x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial (na forma diferencial)
\left(y+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)dx+\left(x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)dy=0.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=y+\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad N(x,y)=x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  • A equação não está definida no ponto (x,y)=(0,0) por causa dos termos \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}.
O que se pede:
  • Encontrar a solução geral (família de curvas implícita ou explícita) que satisfaça essa equação diferencial.

Passo 2

Estratégia: testar se a forma é exata (isto é, se existe uma função potencial F(x,y) tal que dF=M\,dx+N\,dy). Se for exata, integra-se M em relação a x (mantendo y constante) e ajusta-se com uma função de y arbitrária; em seguida iguala-se a derivada obtida com N para determinar essa função de y.
Breve lembrete didático sobre exatidão:
  • Uma forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata em uma região simples conectada se \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
  • Se for exata, existe F(x,y) com \partial F/\partial x=M e \partial F/\partial y=N, e a solução geral é F(x,y)=C.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais para testar exatidão.
Primeiro calcule \dfrac{\partial M}{\partial y}. Temos
M(y)=y+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial}{\partial y}\bigg(y\bigg)=1,
e
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{(x^{2}+y^{2})\cdot 1 - y\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y} =1+\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora calcule \dfrac{\partial N}{\partial x}. Temos
N(x)=x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial}{\partial x}\bigg(x\bigg)=1,
e
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{(x^{2}+y^{2})\cdot 1 - x\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo
\frac{\partial N}{\partial x} =1-\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =1+\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Comparando, obtemos
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
portanto a forma é exata em qualquer região onde x^{2}+y^{2}\neq 0 (ou seja, exceto o ponto (0,0)). Ótimo — podemos procurar F(x,y) com dF=M\,dx+N\,dy.

Passo 4

Construir a função potencial F(x,y) integrando M em relação a x:
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)=y+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Integro em x, tratando y como constante:
F(x,y)=\int\left(y+\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)dx =\int y\,dx+\int \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx.
A primeira integral é \int y\,dx = xy (porque y é constante nessa integração).
A segunda integral é uma integral padrão:
\int \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx =y\int \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dx =y\cdot\frac{1}{y}\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right) =\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right),
válida para y\neq 0 (mas a expressão obtida pode ser continuada por partes em regiões onde y tem sinal fixo).
Portanto, até uma função arbitrária de y,
F(x,y)=xy+\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Determinar h(y) impondo \partial F/\partial y = N(x,y).
Calcule \partial F/\partial y:
\frac{\partial F}{\partial y} =x+\frac{d}{dy}\left[\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)\right]+h'(y).
Usando a regra da cadeia para \arctan(x/y):
\frac{d}{dy}\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right) =\frac{1}{1+(x/y)^{2}}\cdot\frac{d}{dy}\left(\frac{x}{y}\right) =\frac{1}{1+\dfrac{x^{2}}{y^{2}}}\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right) =-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Logo
\frac{\partial F}{\partial y}=x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+h'(y).
Devemos igualar isso a N(x,y)=x-\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}. Assim
x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+h'(y)=x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}},
o que implica h'(y)=0. Portanto h(y) é constante, digamos C.
Assim a função potencial é, até constante,
F(x,y)=xy+\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right).

Passo 6

A solução implícita geral da equação exata é
F(x,y)=C,
ou seja
xy+\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)=C,
onde C é constante arbitrária. Esta igualdade representa a família de curvas solução em regiões onde a expressão está bem definida (lembrar que a equação original não está definida no ponto (0,0)).
Observação sobre soluções singulares: a função constante y\equiv 0 é também uma solução (verificação direta: se y(x)=0 então dy=0 e a equação fica satisfeita). A solução implícita obtida com \arctan(x/y) não representa diretamente a reta y=0 porque \arctan(x/y) é singular quando y=0. Portanto é habitual mencionar y=0 como solução singular adicional.

Resposta

xy+\arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=C
y\equiv 0

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