[1.] Encontre a solução geral da EDO não linear
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial (na forma diferencial)
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- A equação está na forma
com - A equação não está definida no ponto
por causa dos termos .
O que se pede:
- Encontrar a solução geral (família de curvas implícita ou explícita) que satisfaça essa equação diferencial.
Passo 2
Estratégia: testar se a forma é exata (isto é, se existe uma função potencial
tal que
). Se for exata, integra-se
em relação a
(mantendo
constante) e ajusta-se com uma função de
arbitrária; em seguida iguala-se a derivada obtida com
para determinar essa função de
.
Breve lembrete didático sobre exatidão:
- Uma forma
é exata em uma região simples conectada se - Se for exata, existe
com e , e a solução geral é .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais para testar exatidão.
Primeiro calcule
. Temos
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
e
Portanto
Agora calcule
. Temos
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
e
Logo
Comparando, obtemos
portanto a forma é exata em qualquer região onde
(ou seja, exceto o ponto
). Ótimo — podemos procurar
com
.
Passo 4
Construir a função potencial
integrando
em relação a
:
Integro em
, tratando
como constante:
A primeira integral é
(porque
é constante nessa integração).
A segunda integral é uma integral padrão:
A segunda integral é uma integral padrão:
válida para
(mas a expressão obtida pode ser continuada por partes em regiões onde
tem sinal fixo).
Portanto, até uma função arbitrária de ,
Portanto, até uma função arbitrária de
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Determinar
impondo
.
Calcule
:
Usando a regra da cadeia para
:
Logo
Devemos igualar isso a
. Assim
o que implica
. Portanto
é constante, digamos
.
Assim a função potencial é, até constante,
Passo 6
A solução implícita geral da equação exata é
ou seja
onde
é constante arbitrária. Esta igualdade representa a família de curvas solução em regiões onde a expressão está bem definida (lembrar que a equação original não está definida no ponto
).
Observação sobre soluções singulares: a função constante
é também uma solução (verificação direta: se
então
e a equação fica satisfeita). A solução implícita obtida com
não representa diretamente a reta
porque
é singular quando
. Portanto é habitual mencionar
como solução singular adicional.